자연계열 3번

3-1. [풀이] $\displaystyle f(x)$는 미분가능 하므로 구간 $\displaystyle [a,x]$, $\displaystyle [x,b]$에서 각각 제시문 <가>의 평균값의 정리를 적용시키면$\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(c)$ $\displaystyle (a<c<x)$, $\displaystyle \frac{f(b)-f(x)}{b-x}=f^{\prime}(d)$ $\displaystyle (x<d<b)$를 만족하는 $\displaystyle c$, $\displaystyle d$가 존재한다.$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 감소함수이다. 또한 $\displaystyle c<d$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(c)>f^{\prime}(d)$를 만족한다. 따라서 $\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}>\frac{f(b)-f(x)}{b-x}$이다.

3-2. [풀이] $\displaystyle f(t)=\int_0^t e^{-x^2}dx$라 하자. $\displaystyle 0<t<1$일 때, 제시문 <다>에 의하여 $\displaystyle f^{\prime}(t)=e^{-t^2}$, $\displaystyle f^{\prime\prime}(t)=-2te^{-t^2}<0$이므로 문제 3-1의 부등식에 의하여 $\displaystyle \frac{f(t)-f(0)}{t-0}>\frac{f(1)-f(t)}{1-t}$가 성립한다.$\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle (1-t)f(t)>t(f(1)-f(t))\Rightarrow f(t)>tf(1)$이다. 따라서 $\displaystyle \int_0^te^{-x^2}dx>t\int_0^1e^{-x^2}dx$이다.

3-3. [풀이] $\displaystyle \int_0^1x^2f(tx)dx$에서 $\displaystyle tx=u$라 치환하면 $\displaystyle x=\frac1t u$ $\displaystyle dx=\frac1tdu$이며, 적분구간은 $\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle u=0$, $\displaystyle x=1$일 때 $\displaystyle u=t$이다.그러므로 $\displaystyle \int_0^1x^2f(tx)dx=\int_0^t\frac1{t^2}u^2f(u)\frac1tdu=\frac1{t^3}\int_0^tu^2f(u)du=e^t$이고 $\displaystyle \int_0^tu^2f(u)du=t^3e^t$이다. 이제 양변을 $\displaystyle t$에 대하여 미분하면 $\displaystyle t^2f(t)=3t^2e^t+t^3e^t\Rightarrow f(t)=(t+3)e^t$. 따라서 $\displaystyle f(x)=(x+3)e^x$이다.