자연계열 2번

2-1. [풀이] 타원 (1)의 초점을 $\displaystyle (\pm k_1,0)$라 하고, 타원 (2) 의 초점을 $\displaystyle (0,\pm k_2)$라 하자. 즉, $\displaystyle k_1=\sqrt{a^2-b^2}$, $\displaystyle k_2=\sqrt{d^2-b^2}$. 타원 (1)은 타원 (2)는 초점을 지나고 타원 (2)는 타원 (1)의 초점을 지나는 조건으로부터,$\displaystyle b=\sqrt{a^2-b^2}$, $\displaystyle b=\sqrt{d^2-b^2}$가 성립하므로 $\displaystyle a=d=\sqrt2b$이다. 따라서, 장축의 길이는 같다.

2-2. [풀이] 문제 1-1에서 $\displaystyle a=d$이므로, 두 타원의 교점 $\displaystyle (p,q)$에서 $\displaystyle \frac{p^2}{a^2}+\frac{q^2}{b^2}=1$과 $\displaystyle \frac{p^2}{b^2}+\frac{q^2}{a^2}=1$이 성립한다.Correction. 여기서 인용한 “문제 1-1”은 “문제 2-1”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle (p,q)=\left(\pm\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}},\pm\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)=\left(\pm\sqrt{\frac23}b,\pm\sqrt{\frac23}b\right)$. 이로부터 사각형 $\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1\mathrm{D}_1$의 넓이 $\displaystyle S_1$은 $\displaystyle \frac83b^2$이다.타원의 장축과 단축으로부터 사각형 $\displaystyle \mathrm{A}_2\mathrm{B}_2\mathrm{C}_2\mathrm{D}_2$의 넓이 $\displaystyle S_2$는 $\displaystyle 4\sqrt2b^2$이다. 따라서 $\displaystyle S_2>2S_1$이다.

2-3. [풀이] 문제 1-1에서 $\displaystyle a=d$이므로, 두 타원의 교점 $\displaystyle \mathrm{A}_1$의 좌표 $\displaystyle (p,q)$에 대해 $\displaystyle \frac{p^2}{a^2}+\frac{q^2}{b^2}=1$과 $\displaystyle \frac{p^2}{b^2}+\frac{q^2}{a^2}=1$이 성립한다.즉, $\displaystyle (p,q)=\left(\pm\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}},\pm\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$. 그러므로 교점 $\displaystyle \mathrm{A}_1$의 좌표는 $\displaystyle (p,q)=\left(\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}},\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$이다. 이 때 음함수의 미분으로 부터 식 $\displaystyle \frac{2x}{a^2}+\frac{2yy^{\prime}}{b^2}=0$, $\displaystyle \frac{2x}{b^2}+\frac{2yy^{\prime}}{a^2}=0$을 얻는다. 따라서 교점 $\displaystyle A_1$의 두 접선의 기울기는 각각 $\displaystyle -\frac{b^2}{a^2}$, $\displaystyle -\frac{a^2}{b^2}$이다.결국 문제 1-1 에서 $\displaystyle a=d=\sqrt2b$이므로, 교점 $\displaystyle A_1$의 두 접선의 기울기는 각각 $\displaystyle -\frac12$, $\displaystyle -2$이다. 두 접선이 $\displaystyle x$축과 이루는 각을 각각 $\displaystyle \theta_1$, $\displaystyle \theta_2$라 하면, $\displaystyle \tan\theta_1=-\frac12$, $\displaystyle \tan\theta_2=-2$이다. 두 접선이 이루는 예각 $\displaystyle \theta$의 크기는 $\displaystyle \theta_1-\theta_2$이다. 따라서$\displaystyle \tan\theta=\tan(\theta_1-\theta_2)=\frac{\tan\theta_1-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_1\tan\theta_2}=\frac34$.