자연계열 1번

1-1. [풀이] 사건 $\displaystyle A$는 포물선이 점 $\displaystyle (1,4)$를 지나는 사건, 사건 $\displaystyle B$는 $\displaystyle c=-1$인 사건, 사건 $\displaystyle B$의 여사건 $\displaystyle B^c$는 $\displaystyle c=0$인 사건이라 하자. 이 경우 $\displaystyle \mathrm{P}(B)=\frac13$, $\displaystyle \mathrm{P}(B^c)=\frac23$이고 $\displaystyle \mathrm{P}(B)\mathrm{P}(A\mid B)=\mathrm{P}(A\cap B)$, $\displaystyle \mathrm{P}(B^c)\mathrm{P}(A\mid B^c)=\mathrm{P}(A\cap B^c)$이다.

사건 $\displaystyle A\cap B$는 $\displaystyle c=-1$이고 이때 $\displaystyle y=ax^2+bx+c$이 점 $\displaystyle (1,4)$를 지나는 사건이다. 따라서 확률 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)$는 주사위 한 개를 던져 $\displaystyle 2$이하의 숫자가 나오고 주사위 A의 눈이 $\displaystyle a$, 주사위 B의 눈이 $\displaystyle b$라 할 때 $\displaystyle a+b=5$일 확률이다. 결국 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\frac1{27}$이다.

사건 $\displaystyle A\cap B^c$는 $\displaystyle c=0$이고 이때 $\displaystyle y=ax^2+bx+c$이 점 $\displaystyle (1,4)$를 지나는 사건이다. 따라서 확률 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B^c)$는 주사위 한 개를 던져 $\displaystyle 3$이상의 숫자가 나오고 주사위 A의 눈이 $\displaystyle a$, 주사위 B의 눈이 $\displaystyle b$라 할 때 $\displaystyle a+b=4$일 확률이다. 결국 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B^c)=\frac1{18}$이다.

그러므로 포물선이 점 $\displaystyle (1,4)$를 지나는 확률 $\displaystyle \mathrm{P}(A)$는 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(A\cap B)+\mathrm{P}(A\cap B^c)$이므로 $\displaystyle \frac5{54}$이다.

1-2. [풀이] 이차방정식 $\displaystyle x^2-2bx+a=0$이 서로 다른 두 실근을 가질 조건은 $\displaystyle b^2-a>0$이고, 이차방정식 $\displaystyle x^2-bx+a=0$이 서로 다른 두 허근을 가질 조건은 $\displaystyle b^2-4a<0$이다. 그러므로 이차방정식 $\displaystyle x^2-2bx+a=0$이 서로 다른 두 실근을 갖고, 이차방정식 $\displaystyle x^2-bx+a=0$이 서로 다른 두 허근을 가질 조건은 $\displaystyle a<b^2<4a$이다. 이 조건을 만족하는 주사위의 눈의 수 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$의 쌍 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle (2,2)$, $\displaystyle (3,2)$, $\displaystyle (3,3)$, $\displaystyle (4,3)$, $\displaystyle (5,3)$, $\displaystyle (5,4)$, $\displaystyle (6,3)$, $\displaystyle (6,4)$로 총 8가지이다. 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac8{36}=\frac29$이다.

1-3. [풀이] 사건 $\displaystyle A$는 $\displaystyle x^2-bx+a=0$가 서로 다른 두 실근을 가지는 사건, 사건 $\displaystyle B$는 $\displaystyle x^2-bx+a=0$가 서로 다른 두 정수근을 가지는 사건이라 하자. 이 경우 사건 $\displaystyle B$는 사건 $\displaystyle A$의 부분 사건이다.따라서 $\displaystyle \mathrm{P}(B\mid A)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)}=\frac{\mathrm{P}(B)}{\mathrm{P}(A)}$이다.

$\displaystyle x^2-bx+a=0$가 서로 다른 두 실근을 가지는 필요충분조건은 $\displaystyle b^2-4a>0$이고,이 조건을 만족하는 주사위의 눈의 수 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$의 쌍 $\displaystyle (a,b)$는$\displaystyle (1,3)$, $\displaystyle (1,4)$, $\displaystyle (1,5)$, $\displaystyle (1,6)$, $\displaystyle (2,3)$, $\displaystyle (2,4)$, $\displaystyle (2,5)$, $\displaystyle (2,6)$, $\displaystyle (3,4)$, $\displaystyle (3,5)$, $\displaystyle (3,6)$, $\displaystyle (4,5)$, $\displaystyle (4,6)$, $\displaystyle (5,5)$, $\displaystyle (5,6)$, $\displaystyle (6,5)$, $\displaystyle (6,6)$으로 총 17가지이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac{17}{36}$이다.

이 중 $\displaystyle \frac{b-\sqrt{b^2-4a}}2$와 $\displaystyle \frac{b+\sqrt{b^2-4a}}2$가 모두 정수인 경우는 $\displaystyle (2,3)$, $\displaystyle (3,4)$, $\displaystyle (4,5)$, $\displaystyle (5,6)$, $\displaystyle (6,5)$로 총 5가지이다.따라서 $\displaystyle \mathrm{P}(B)=\frac5{36}$이다. 결국 구하는 확률 $\displaystyle \mathrm{P}(B\mid A)$는 $\displaystyle \mathrm{P}(B\mid A)=\frac{\mathrm{P}(B)}{\mathrm{P}(A)}$이므로 $\displaystyle \frac5{17}$이다.