자연계열 2번

2-1. [풀이] $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 증가함수이다. 그러므로 $\displaystyle \int_0^bf(x)dx=0$인 $\displaystyle b$가 단 하나있다.따라서 $\displaystyle F(x)<0$ $\displaystyle (0<x<b)$이고 $\displaystyle F(x)>0$ $\displaystyle (b<x<1)$이므로 다음 식을 얻는다.$\displaystyle \int_0^1f(x)|F(x)|dx=-\int_0^bf(x)F(x)dx+\int_b^1f(x)F(x)dx$이 때, $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)$이므로 $\displaystyle -\int_0^bf(x)F(x)dx+\int_b^1f(x)F(x)dx=-\Biggl[\frac{F^2(x)}2\Biggr]_0^b+\Biggl[\frac{F^2(x)}2\Biggr]_b^1$이다.결국 $\displaystyle F(1)=\int_0^1f(t)dt=\sqrt2$ 이므로 $\displaystyle \int_0^1f(x)|F(x)|dx=\frac{F^2(1)}2+\frac{F^2(0)}2=1$이다.

2-2. [풀이] $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 증가함수이다. 그러므로 $\displaystyle f(a)=0$인 $\displaystyle a$가 단 하나있다.따라서 $\displaystyle f(x)<0$ $\displaystyle (0<x<a)$이고 $\displaystyle f(x)>0$ $\displaystyle (a<x<1)$이다.또한 $\displaystyle G^{\prime}(x)=|f(x)|$이므로 $\displaystyle G^{\prime}(x)=-f(x)$ $\displaystyle (0\le x\le a)$, $\displaystyle G^{\prime}(x)=f(x)$ $\displaystyle (a\le x\le1)$이다.그러므로 $\displaystyle \int_0^1f(x)e^{G(x)}dx=\int_0^af(x)e^{G(x)}dx+\int_a^1f(x)e^{G(x)}dx=\Biggl[-e^{G(x)}\Biggr]_0^a+\Biggl[e^{G(x)}\Biggr]_a^1=e^{G(1)}+e^{G(0)}-2e^{G(a)}$이다.그런데 $\displaystyle \int_0^1f(x)dx=\int_0^af(x)dx+\int_a^1f(x)dx=\sqrt2$이고 $\displaystyle \int_0^1|f(x)|dx=\int_0^a-f(x)dx+\int_a^1f(x)dx=\sqrt5$이므로 $\displaystyle G(a)=\int_0^a-f(x)dx=\frac{\sqrt5-\sqrt2}2$이다.결국 $\displaystyle \int_0^1f(x)e^{G(x)}dx=e^{G(1)}+e^{G(0)}-2e^{G(a)}=e^{\sqrt5}+1-2e^{\frac{\sqrt5-\sqrt2}2}$이다.