한양대 에리카캠퍼스 2019학년도 모의 자연계열 3번 해설

[문제 3] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 아래 그림과 같이 중심이 원점에 있고 반지름의 길이가 $\displaystyle R$ 인 원 O와 반지름의 길이가 $\displaystyle r$ 인 원 C는 $\displaystyle x$ 축 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}(R,0)$ 에서 접한다. 원 O는 고정시키고, 원 C를 원 O의 둘레를 따라 시계반대 방향으로 미끄러짐 없이 굴린다고 하자. 원 C 위의 한 고정점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$ 는 시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 점 $\displaystyle \mathrm{A}(R,0)$ 에서 출발하여 시각 $\displaystyle t$ 에서의 위치가 다음과 같다. $\displaystyle x(t)=(R+r)\cos t-r\cos\left(\frac{R+r}{r}\right)t,\quad y(t)=(R+r)\sin t-r\sin\left(\frac{R+r}{r}\right)t$ Caution. 괄호로 연산의 범위를 분명히 하라: 제시문의 $\displaystyle \cos\left(\frac{R+r}{r}\right)t$ , $\displaystyle \sin\left(\frac{R+r}{r}\right)t$ 는 $\displaystyle t$ 를 삼각함숫값에 곱하는 식이다. 이 문제에서는 $\displaystyle t$ 까지 삼각함수의 입력에 포함하여 각각 $\displaystyle \cos\left(\frac{R+r}{r}t\right)$ , $\displaystyle \sin\left(\frac{R+r}{r}t\right)$ 로 써야 한다. 대학 해설은 올바른 식으로 계산한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

<나> 시각 $\displaystyle t$ 에서의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 속도는 벡터 $\displaystyle \vec v(t)=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)$ 이고, 속도의 크기 $\displaystyle |\vec v(t)|=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}$ 를 속력이라 한다.

<다> 삼각함수의 덧셈정리 $\displaystyle \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\quad\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$ $\displaystyle \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\quad\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

3-1. $\displaystyle R=3,r=2$ 일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 속도와 속력을 구하고, 속력이 $\displaystyle 0$ 이 되는 모든 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 좌표 $\displaystyle (x,y)$ 를 구하시오. [15점]

3-2. 제시문 <가>에서와 같이 원 O의 반지름의 길이를 $\displaystyle R$ 이라 하고, 원 O의 둘레를 구르는 두 원 $\displaystyle \mathrm{C}_1$ , $\displaystyle \mathrm{C}_2$ 의 반지름의 길이 $\displaystyle r$ 을 각각 $\displaystyle \frac1{12}R$ 과 $\displaystyle \frac1{20}R$ 이라 하자. 원 $\displaystyle \mathrm{C}_1$ 과 $\displaystyle \mathrm{C}_2$ 위의 각 고정점을 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ 과 $\displaystyle \mathrm{P}_2$ 라 하고 시각 $\displaystyle t=0$ 에 $\displaystyle x$ 축 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}(R,0)$ 에서 출발한다. 두 원 $\displaystyle \mathrm{C}_1$ , $\displaystyle \mathrm{C}_2$ 가 원 O의 둘레를 구르면서 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ , $\displaystyle \mathrm{P}_2$ 가 특정 시각에 원 O와 만난다. 움직이는 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ 과 $\displaystyle \mathrm{P}_2$ 가 만나는 원 O 위의 모든 점의 개수를 구하고, 움직이는 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ 과 $\displaystyle \mathrm{P}_2$ 가 원 O 위에서 공통으로 만나는 모든 시각 $\displaystyle t$ $\displaystyle (0\le t<2\pi)$ 를 구하시오. [15점]

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3-1. [풀이] 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 위치는 $\displaystyle x(t)=5\cos t-2\cos\frac{5t}2$ , $\displaystyle y(t)=5\sin t-2\sin\frac{5t}2$ 이므로점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 속도는 $\displaystyle \vec v(t)=\left(-5\sin t+5\sin\frac{5t}2,5\cos t-5\cos\frac{5t}2\right)$ 이고점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 속력 $\displaystyle |\vec v(t)|$ 는 다음과 같다. $\displaystyle \begin{aligned}&\sqrt{\left(-5\sin t+5\sin\frac{5t}2\right)^2+\left(5\cos t-5\cos\frac{5t}2\right)^2}=5\sqrt{\sin^2t-2\sin t\sin\frac{5t}2+\sin^2\frac{5t}2+\cos^2t-2\cos t\cos\frac{5t}2+\cos^2\frac{5t}2}\\&=5\sqrt{2-2\cos\left(\frac{5t}2-t\right)}=5\sqrt{2-2\cos\frac{3t}2}.\end{aligned}$ 따라서 $\displaystyle |\vec v(t)|=0$ 인 $\displaystyle t$ 는 $\displaystyle 0,\frac{4\pi}3,\frac{8\pi}3,\cdots$ 이고 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 좌표 $\displaystyle (x,y)$ 는 $\displaystyle (3,0)$ , $\displaystyle \left(-\frac32,\frac{3\sqrt3}2\right)$ , $\displaystyle \left(-\frac32,-\frac{3\sqrt3}2\right)$ 이다.

3-2. [풀이] 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac1{12}R$ 인 원 $\displaystyle \mathrm{C}_1$ 가 원 O의 둘레를 구르면서 움직인다. $\displaystyle t=0$ 에서 원 O와 만나는 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ 이 원 O의 둘레를 구르다가 원 O와 만나는 $\displaystyle t$ 는 $\displaystyle \frac{n\pi}6$ $\displaystyle (n=0,1,2,\cdots)$ 이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ 이 만나는 원 O 위의 모든 점을 $\displaystyle t$ $\displaystyle (0\le t<2\pi)$ 로 나타내면 $\displaystyle t=\frac{n\pi}6$ $\displaystyle (n=0,1,\cdots,11)$ 이다. 결국 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ 이 만나는 원 O 위의 점의 개수는 12이다.

이와 유사하게 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac1{20}R$ 인 원 $\displaystyle \mathrm{C}_2$ 가 원 O의 둘레를 구르면서 움직인다고 하자. $\displaystyle t=0$ 에서 원 O와 만나는 원 $\displaystyle \mathrm{C}_2$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}_2$ 이 원 O의 둘레를 구르다가 원 O와 만나는 $\displaystyle t$ 는 $\displaystyle \frac{n\pi}{10}$ $\displaystyle (n=0,1,2,\cdots)$ 이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}_2$ 이 만나는 원 O 위의 모든 점을 $\displaystyle t$ $\displaystyle (0\le t<2\pi)$ 로 나타내면 $\displaystyle t=\frac{n\pi}{10}$ $\displaystyle (n=0,1,\cdots,19)$ 이다. 결국 점 $\displaystyle \mathrm{P}_2$ 가 만나는 원 O 위의 점의 개수는 20이다. $\displaystyle \frac{n\pi}6$ $\displaystyle (n=0,1,\cdots,11)$ 와 $\displaystyle \frac{n\pi}{10}$ $\displaystyle (n=0,1,\cdots,19)$ 에서 공통으로 나타나는 $\displaystyle t$ 의 값은 $\displaystyle \frac{n\pi}2$ $\displaystyle (n=0,1,2,3)$ 로 4개 이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ 과 $\displaystyle \mathrm{P}_2$ 이 만나는 원 O 위의 모든 점의 개수는 $\displaystyle 12+20-4=28$ 이고, $\displaystyle \mathrm{P}_1$ 과 $\displaystyle \mathrm{P}_2$ 가 공통으로 만나는 원 O 위의 점을 $\displaystyle t$ $\displaystyle (0\le t<2\pi)$ 로 나타내면 $\displaystyle t=0,\frac\pi2,\pi,\frac{3\pi}2$ 이다.

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