자연계열 3번

3-1. [풀이] 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 시각 $\displaystyle t$에서의 위치는 $\displaystyle x(t)=5\cos t-2\cos\frac{5t}2$, $\displaystyle y(t)=5\sin t-2\sin\frac{5t}2$이므로점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 시각 $\displaystyle t$에서의 속도는 $\displaystyle \vec v(t)=\left(-5\sin t+5\sin\frac{5t}2,5\cos t-5\cos\frac{5t}2\right)$이고점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 시각 $\displaystyle t$에서의 속력 $\displaystyle |\vec v(t)|$는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}&\sqrt{\left(-5\sin t+5\sin\frac{5t}2\right)^2+\left(5\cos t-5\cos\frac{5t}2\right)^2}=5\sqrt{\sin^2t-2\sin t\sin\frac{5t}2+\sin^2\frac{5t}2+\cos^2t-2\cos t\cos\frac{5t}2+\cos^2\frac{5t}2}\\&=5\sqrt{2-2\cos\left(\frac{5t}2-t\right)}=5\sqrt{2-2\cos\frac{3t}2}.\end{aligned}$따라서 $\displaystyle |\vec v(t)|=0$인 $\displaystyle t$는 $\displaystyle 0,\frac{4\pi}3,\frac{8\pi}3,\cdots$이고 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표 $\displaystyle (x,y)$는 $\displaystyle (3,0)$, $\displaystyle \left(-\frac32,\frac{3\sqrt3}2\right)$, $\displaystyle \left(-\frac32,-\frac{3\sqrt3}2\right)$이다.

3-2. [풀이] 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac1{12}R$인 원 $\displaystyle \mathrm{C}_1$가 원 O의 둘레를 구르면서 움직인다. $\displaystyle t=0$에서 원 O와 만나는 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$이 원 O의 둘레를 구르다가 원 O와 만나는 $\displaystyle t$는 $\displaystyle \frac{n\pi}6$ $\displaystyle (n=0,1,2,\cdots)$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$이 만나는 원 O 위의 모든 점을 $\displaystyle t$ $\displaystyle (0\le t<2\pi)$로 나타내면 $\displaystyle t=\frac{n\pi}6$ $\displaystyle (n=0,1,\cdots,11)$이다. 결국 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$이 만나는 원 O 위의 점의 개수는 12이다.

이와 유사하게 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac1{20}R$인 원 $\displaystyle \mathrm{C}_2$가 원 O의 둘레를 구르면서 움직인다고 하자. $\displaystyle t=0$에서 원 O와 만나는 원 $\displaystyle \mathrm{C}_2$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}_2$이 원 O의 둘레를 구르다가 원 O와 만나는 $\displaystyle t$는 $\displaystyle \frac{n\pi}{10}$ $\displaystyle (n=0,1,2,\cdots)$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}_2$이 만나는 원 O 위의 모든 점을 $\displaystyle t$ $\displaystyle (0\le t<2\pi)$로 나타내면 $\displaystyle t=\frac{n\pi}{10}$ $\displaystyle (n=0,1,\cdots,19)$이다. 결국 점 $\displaystyle \mathrm{P}_2$가 만나는 원 O 위의 점의 개수는 20이다.$\displaystyle \frac{n\pi}6$ $\displaystyle (n=0,1,\cdots,11)$와 $\displaystyle \frac{n\pi}{10}$ $\displaystyle (n=0,1,\cdots,19)$에서 공통으로 나타나는 $\displaystyle t$의 값은 $\displaystyle \frac{n\pi}2$ $\displaystyle (n=0,1,2,3)$로 4개 이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$과 $\displaystyle \mathrm{P}_2$이 만나는 원 O 위의 모든 점의 개수는 $\displaystyle 12+20-4=28$이고, $\displaystyle \mathrm{P}_1$과 $\displaystyle \mathrm{P}_2$가 공통으로 만나는 원 O 위의 점을 $\displaystyle t$ $\displaystyle (0\le t<2\pi)$로 나타내면 $\displaystyle t=0,\frac\pi2,\pi,\frac{3\pi}2$이다.