자연계열 1번

1-1. [풀이] 포물선이 $\displaystyle y$축에 대칭이므로 $\displaystyle a>0$가 한 접점의 $\displaystyle x$좌표라면,$\displaystyle \tan\left(\frac\pi2-\frac\pi8\right)=y^{\prime}(a)\quad\Leftrightarrow\quad\tan\frac\pi8=\frac1{y^{\prime}(a)}$.

$\displaystyle y^{\prime}(a)=2a$이고 제시문 <가>에 의해 $\displaystyle \tan\frac\pi4=\frac{2\tan\frac\pi8}{1-\tan^2\frac\pi8}$이므로,$\displaystyle \frac{\frac1a}{1-\frac1{4a^2}}=1\quad\Leftrightarrow\quad4a^2-4a-1=0$.

그리고 $\displaystyle a>0$이므로 $\displaystyle a=\frac{1+\sqrt2}2$. 따라서 $\displaystyle b=-\frac{3+2\sqrt2}4$.

1-2. [풀이] $\displaystyle \mathrm{P}_n=(a_n,0)$이면 $\displaystyle \mathrm{Q}_n=(a_n,a_n^2)$이고 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_n$에서의 접선은 $\displaystyle y-a_n^2=2a_n(x-a_n)$이므로 $\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}2$, $\displaystyle \alpha_n=\frac{a_n}2$, $\displaystyle \beta_n=a_n^2$이다. 따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\alpha_n=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_1}{2^n}=a_1$, $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\beta_n=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_1}{2^{n-1}}\right)^2=\frac43a_1^2$.결국 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\alpha_n=\sum_{n=1}^\infty\beta_n$이면 $\displaystyle a_1=\frac34$.

1-3. [풀이] 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$의 좌표가 $\displaystyle (1,0)$일 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_n\mathrm{Q}_n\mathrm{P}_{n+1}$의 면적은 $\displaystyle \frac1{2^{3n-1}}$이므로 이들 삼각형 면적들의 합은 $\displaystyle \frac27$.한편 영역 $\displaystyle 0\le x\le1$에서 포물선과 $\displaystyle x$축이 이루는 면적은 $\displaystyle \int_0^1x^2dx=\frac13$. 따라서 빗금 친 영역들의 면적의 합은 $\displaystyle \frac13-\frac27=\frac1{21}$.