자연계열 3번

한양대 에리카캠퍼스 2020학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2020mo/jayeon_3

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

주머니에서 카드 한 장을 뽑아 카드 번호에 해당하는 병에서 공을 한 개 꺼내서 A공 또는 B공을 말하는 실험을 진행한다. 실험을 진행하여 B공을 뽑았다고 가정하였을 때, 1번병과 2번병 중 어느 병에서 나왔을지 궁금하다. 꺼낸 카드와 공은 다시 집어넣으며, 편의상 집합 $\displaystyle X=\{1,2\}$ , $\displaystyle Y=\{A,B\}$ 로 둔다.

3-1. B공이 뽑힐 확률 $\displaystyle \mathrm{P}(Y=B)$ 값을 구하여라. [15점]

3-2. B공이 뽑혔을 때, 1번병과 2번병에서 나왔을 조건부 확률 $\displaystyle \mathrm{P}(X=1\mid Y=B)$ , $\displaystyle \mathrm{P}(X=2\mid Y=B)$ 값을 구하여라. [15점]

해설강의 준비중

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3-1. [풀이] B공은 1번병과 2번병에서 뽑힐 수 있으므로 $\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(Y=B)&=\mathrm{P}(Y=B\cap X=1)+\mathrm{P}(Y=B\cap X=2)\\&=\mathrm{P}(Y=B\mid X=1)\mathrm{P}(X=1)+\mathrm{P}(Y=B\mid X=2)\mathrm{P}(X=2)\\&=\frac14\cdot\frac46+\frac34\cdot\frac14\\&=\frac{17}{48}\end{aligned}$

3-2. [풀이] B공이 1번병에서 뽑혔을 확률은 다음의 곱셈정리를 적용하여 구한다. $\displaystyle \mathrm{P}(X=1\cap Y=B)=\mathrm{P}(Y=B\cap X=1)$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(X=1\mid Y=B)\mathrm{P}(Y=B)=\mathrm{P}(Y=B\mid X=1)\mathrm{P}(X=1)$ 이다.그러므로 $\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(X=1\mid Y=B)&=\frac{\mathrm{P}(Y=B\mid X=1)\mathrm{P}(X=1)}{\mathrm{P}(Y=B)}\\&=\frac{\frac14\cdot\frac46}{\frac{17}{48}}\\&=\frac8{17}\end{aligned}$

또한, B공이 2번병에서 뽑혔을 확률은 위와 같은 방식으로 곱셈정리를 적용하여 구한다. $\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(X=2\mid Y=B)&=\frac{\mathrm{P}(Y=B\mid X=2)\mathrm{P}(X=2)}{\mathrm{P}(Y=B)}\\&=\frac{\frac34\cdot\frac14}{\frac{17}{48}}\\&=\frac9{17}\end{aligned}$

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