자연계열 3번

3-1. [풀이] B공은 1번병과 2번병에서 뽑힐 수 있으므로$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(Y=B)&=\mathrm{P}(Y=B\cap X=1)+\mathrm{P}(Y=B\cap X=2)\\&=\mathrm{P}(Y=B\mid X=1)\mathrm{P}(X=1)+\mathrm{P}(Y=B\mid X=2)\mathrm{P}(X=2)\\&=\frac14\cdot\frac46+\frac34\cdot\frac14\\&=\frac{17}{48}\end{aligned}$

3-2. [풀이] B공이 1번병에서 뽑혔을 확률은 다음의 곱셈정리를 적용하여 구한다.$\displaystyle \mathrm{P}(X=1\cap Y=B)=\mathrm{P}(Y=B\cap X=1)$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(X=1\mid Y=B)\mathrm{P}(Y=B)=\mathrm{P}(Y=B\mid X=1)\mathrm{P}(X=1)$이다.그러므로$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(X=1\mid Y=B)&=\frac{\mathrm{P}(Y=B\mid X=1)\mathrm{P}(X=1)}{\mathrm{P}(Y=B)}\\&=\frac{\frac14\cdot\frac46}{\frac{17}{48}}\\&=\frac8{17}\end{aligned}$

또한, B공이 2번병에서 뽑혔을 확률은 위와 같은 방식으로 곱셈정리를 적용하여 구한다.$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(X=2\mid Y=B)&=\frac{\mathrm{P}(Y=B\mid X=2)\mathrm{P}(X=2)}{\mathrm{P}(Y=B)}\\&=\frac{\frac34\cdot\frac14}{\frac{17}{48}}\\&=\frac9{17}\end{aligned}$