자연계열 2번

2-1. [풀이] 식 $\displaystyle \sin x+k\cos x=\sqrt{1+k^2}\cos(x-\alpha)$에 $\displaystyle x=0$를 대입하면, $\displaystyle k=\sqrt{1+k^2}\cos(-\alpha)$.코사인함수는 $\displaystyle y$축 대칭 함수이므로, $\displaystyle \cos\alpha=\frac k{\sqrt{1+k^2}}$.한편 식 $\displaystyle \sin x+k\cos x=\sqrt{1+k^2}\cos(x-\alpha)$에 $\displaystyle x=\alpha$를 대입하면, $\displaystyle \sin\alpha+k\cos\alpha=\sqrt{1+k^2}$.그런데 $\displaystyle \cos\alpha=\frac k{\sqrt{1+k^2}}$이므로 $\displaystyle \sin\alpha=\frac1{\sqrt{1+k^2}}$.

2-2. [풀이] $\displaystyle f(x)=\sin x-\cos x+\sin x\cos x$이므로,$\displaystyle f^{\prime}(x)=\cos x+\sin x+\cos^2x-\sin^2x=(\cos x+\sin x)(1+(\cos x-\sin x))$이고 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=-\sin x+\cos x-4\sin x\cos x$.

그러므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 해는 $\displaystyle \cos x+\sin x=0$의 해이거나 $\displaystyle 1-(\sin x-\cos x)=1-\sqrt2\cos(x-\alpha)=0$의 해이다.이 때 문제 2-1에 의해 $\displaystyle \sin\alpha=\frac1{\sqrt2}$이고 $\displaystyle \cos\alpha=-\frac1{\sqrt2}$이므로 $\displaystyle \alpha=\frac{3\pi}4$이다.$\displaystyle \cos x+\sin x=0$의 해는 $\displaystyle x=\frac{3\pi}4,\frac{7\pi}4$인데, 이 경우 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0$이므로 이때 $\displaystyle f(x)$가 최댓값을 가질 수 없다.

$\displaystyle 1-\sqrt2\cos(x-\alpha)=0$의 해는 $\displaystyle x-\alpha=\frac\pi4,-\frac\pi4$이고 $\displaystyle \alpha=\frac{3\pi}4$이므로 $\displaystyle x=\pi,\frac\pi2$이다.결국 $\displaystyle x$의 값이 $\displaystyle \frac\pi2$와 $\displaystyle \pi$일 때 $\displaystyle f(x)$는 최댓값 $\displaystyle 1$을 갖는다.