자연계열 1번

[1-1 풀이]

[풀이] 내접원 $\displaystyle C_{1}$의 중심 $\displaystyle P_{1} ( r , r )$에서 직선 $\displaystyle y = - \frac{{3}}{4} x + 3$까지의 거리가 $\displaystyle r$을 만족하는 값 중 삼각형의 내부에 위치한 점을 찾으면 $\displaystyle r = 1$이다. ($\displaystyle r = 6$인 경우는 삼각형의 외부에 있음) 그러므로 내접원의 반지름은 1로 내접원의 방정식은 $\displaystyle ( x - 1 )^{2} + ( y - 1 )^{2} = 1$ 이다.

[1-2 풀이]

[풀이] 원 $\displaystyle C_{1}$의 반지름을 $\displaystyle r_{1}$, $\displaystyle C_{2}$의 반지름을 $\displaystyle r_{2}$라 할 때, 원의 중심을 지나는 직선의 기울기가 $\displaystyle \tan 45^{\circ}$이므로 $\displaystyle r_{1}$과 $\displaystyle r_{2}$는 $\displaystyle r_{1} - r_{2} : r_{1} + r_{2} = 1 : \sqrt{2}$를 만족한다. 이 식을 정리하면 $\displaystyle r_{1} + r_{2} = \sqrt{2} ( r_{1} - r_{2} )$이다. $\displaystyle r_{1} = 1$이므로 $\displaystyle r_{2} = 3 - 2 \sqrt{2}$이고 $\displaystyle \frac{{r_{1}}}{r_{2}} = 3 + 2 \sqrt{2}$이다. 같은 원리로 $\displaystyle \frac{{r_{n - 1}}}{r_{n}} = 3 + 2 \sqrt{2}$. $\displaystyle \frac{{{\overline{P{}_{1}\mathrm{P}_{2}}}}}{{\overline{P{}_{2}\mathrm{P}_{3}}}} = \frac{{r_{1} + r_{2}}}{r_{2} + r_{3}} = \frac{{r_{2}}}{r_{3}} = \frac{{r_{1}}}{r_{2}} = 3 + 2 \sqrt{2}$이다.

[1-3 풀이]

[풀이] 문제 1-2에서 $\displaystyle r_{1} = 1$, $\displaystyle r_{2} = 3 - 2 \sqrt{2}$로 $\displaystyle r_{n} = ( 3 - 2 \sqrt{2} ) r_{n - 1}$이다. 길이의 비는 $\displaystyle ( 3 - 2 \sqrt{2} )$, 넓이의 비는 그 제곱인 $\displaystyle ( 17 - 12 \sqrt{2} )$이므로, $\displaystyle A_{1} = \pi$, $\displaystyle A_{2} = ( 17 - 12 \sqrt{2} ) \pi$. 원의 넓이 비는 $\displaystyle ( 17 - 12 \sqrt{2} ) < 1$ 이므로,

$\displaystyle \sum_{n = 2}^{\infty} A_{n} = \frac{{( 17 - 12 \sqrt{2} )}}{1 - ( 17 - 12 \sqrt{2} )} \pi = \left( \frac{{3}}{8} \sqrt{2} - \frac{{1}}{2} \right) \pi$이다. 그러므로, 답은 $\displaystyle \frac{{3}}{8} \sqrt{2} - \frac{{1}}{2}$이다.