자연계열 3번

[3-1 풀이]

[풀이] 다항함수 $\displaystyle f ( x )$의 도함수 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$는 다항함수이고 연속함수이므로, 제시문 <가>의 조건에 의해서 $\displaystyle f^{\prime} ( 5 ) = 0$이다. 또한 제시문 <가>의 조건에서 $\displaystyle x \ne 5$이면 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) \ne 0$이다. 한편 $\displaystyle g^{\prime} ( x ) = f ( x ) + ( x - 1 ) f^{\prime} ( x ) - f ( x ) = ( x - 1 ) f^{\prime} ( x )$ 이므로 $\displaystyle g ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle g ( x )$는 $\displaystyle x = 1$에서 극소이고 $\displaystyle x = 5$에서 극대이다. 그러므로 $\displaystyle g ( x )$의 극점의 개수는 2이다.

[3-2 풀이]

[풀이] $\displaystyle f ( x )$의 도함수 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$는 다항함수이고 $\displaystyle f^{\prime} ( 5 ) = 0$이므로 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = ( x - 5 ) h ( x )$인 다항함수 $\displaystyle h ( x )$가 존재한다.

이 때, $\displaystyle x < 5$에서 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) > 0$이므로 $\displaystyle h ( x ) < 0 ( x < 5 )$이고 $\displaystyle x > 5$에서 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) < 0$이므로 $\displaystyle h ( x ) < 0 ( x < 5 )$이다. 다항함수 $\displaystyle h ( x )$는 연속함수이므로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle h ( x ) \leq 0$ 이다. 따라서 다항함수 $\displaystyle h ( x )$의 최고차항의 차수는 짝수이고 다항함수 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$의 최고차항의 차수는 홀수이다. 그런데 $\displaystyle x > 5$에서 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) < 0$ 이지만Correction. $\displaystyle h(x)<0$ 뒤에 적힌 구간 $\displaystyle x<5$는 $\displaystyle x>5$의 오기이다.그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle - 3 x < f^{\prime} ( x )$이므로 $\displaystyle | f^{\prime} ( x ) | < 3 | x | ( x > 5 )$이다. 그러므로 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$는 일차함수 이고 $\displaystyle h ( x )$는 $\displaystyle - 3$ 이상의 음의 실수를 값으로 갖는 상수함수이다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = a ( x - 5 ) ( - 3 \leq a < 0 )$이고 $\displaystyle f ( x ) = \frac{{a}}{2} ( x - 5 )^{2} + b ( - 3 \leq a < 0 )$이다. 그런데 $\displaystyle f ( x )$의 모든 계수는 정수이고 $\displaystyle f ( 5 ) = 0$이므로 $\displaystyle f ( x ) = - ( x - 5 )^{2}$이다. 따라서 제시문 <나>에 의해

$\displaystyle g ( x ) = - ( x - 1 ) ( x - 5 )^{2} - \int_{1}^{x} {- ( t - 5 )^{2} d t} = - ( x - 1 ) ( x - 5 )^{2} + \frac{{( x - 5 )^{3} + 64}}{3}$이다.

그러므로 $\displaystyle g ( 1 ) = 0$ 이고 $\displaystyle g ( 5 ) = \frac{{64}}{3}$이다. 따라서 $\displaystyle g ( x )$는 $\displaystyle x = 1$에서 극솟값 0을 갖고 $\displaystyle x = 5$에서 극댓값 $\displaystyle \frac{{64}}{3}$을 갖는 삼차함수이므로, 방정식 $\displaystyle g ( x ) = c$ 이 서로 다른 세 실근을 갖는 실수 $\displaystyle c$ 의 범위는 $\displaystyle 0 < c < \frac{64}{3}$ 이다.