자연계열 2번

[2-1 풀이]

[풀이] 제시문 <가>를 이용하여 $\displaystyle \int_{1}^{x} {f \left( t \right) d t} = x \ln x - x + 1$의 양변을 미분하면 $\displaystyle f \left( x \right) = \ln x$가 된다.

제시문 <나>를 이용하여 $\displaystyle e^{f ( x )}$는 $\displaystyle e^{\ln x} = x$가 된다. 따라서 $\displaystyle \int_{1}^{2} {\frac{{f ( x )}}{e^{f ( x )}} d x} = \int_{1}^{2} {\frac{{\ln x}}{x} d x}$가 된다.

여기서 $\displaystyle \ln x = t$로 치환을 하면 $\displaystyle \frac{{d x}}{x} = d t$이며, 적분구간은 $\displaystyle x = 1$일 때 $\displaystyle t = 0$, $\displaystyle x = 2$일 때 $\displaystyle t = \ln 2$ 이다.

그러므로 $\displaystyle \int_{1}^{2} {\frac{{\ln x}}{x} d x} = \int_{0}^{\ln 2} {t d t}$가 된다. 따라서, 답은 $\displaystyle \frac{{1}}{2} ( \ln 2 )^{2}$이다.

[2-2 풀이]

[풀이] 제시문 <다>를 이용하면, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\frac{{1}}{n^{2}} \left[ \ln ( 1 + \frac{{1}}{n} ) + 2 \ln ( 1 + \frac{{2}}{n} ) + 3 \ln ( 1 + \frac{{3}}{n} ) + \cdots + n \ln ( 1 + \frac{{n}}{n} ) \right]}$는

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\frac{{1}}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} k \ln ( 1 + \frac{{k}}{n} )} = \lim_{n \to \infty} {\frac{{1}}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{{k}}{n} \ln ( 1 + \frac{{k}}{n} )} = \int_{0}^{1} {x \ln ( 1 + x ) d x}$가 된다.

여기서 부분적분을 이용하면 $\displaystyle \int_{0}^{1} {x \ln ( 1 + x ) d x} = \Biggl[ \frac{{1}}{2} x^{2} \ln ( 1 + x ) \Biggr]_{0}^{1} - \frac{{1}}{2} \int_{0}^{1} {x^{2} \frac{{1}}{1 + x} d x}$가 되고

$\displaystyle \frac{{1}}{2} \int_{0}^{1} {\frac{{x^{2}}}{1 + x} d x} = \frac{{1}}{2} \int_{0}^{1} {( x - 1 ) d x} + \frac{{1}}{2} \int_{0}^{1} {\frac{{1}}{1 + x} d x}$이므로 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \int_{0}^{1} {\frac{{x^{2}}}{1 + x} d x} = \frac{{1}}{2} \Biggl[ \frac{{1}}{2} x^{2} - x \Biggr]_{0}^{1} + \frac{{1}}{2} \Biggl[ \ln ( 1 + x ) \Biggr]_{0}^{1}$가 된다.

그러므로 $\displaystyle \int_{0}^{1} {x \ln ( 1 + x ) d x} = \Biggl[ \frac{{1}}{2} x^{2} \ln ( 1 + x ) \Biggr]_{0}^{1} - \frac{{1}}{2} \Biggl[ \frac{{1}}{2} x^{2} - x \Biggr]_{0}^{1} - \frac{{1}}{2} \Biggl[ \ln ( 1 + x ) \Biggr]_{0}^{1}$ 가 된다. 따라서, 답은 $\displaystyle \frac{{1}}{4}$이다.