자연계열 1번

(문항 1) 제시문 [가]의 정의에서 $\displaystyle x=a+h$ 라 하면 $\displaystyle h \to 0$ 일 때 $\displaystyle x \to a$ 가 된다. 이것을 이용해 [가]의 식을 치환하면 [나]의 식이 얻어진다. 또한 [나]의 정의에서 $\displaystyle h=x-a$ 로 치환하면 [가]의 식이 얻어지므로 두 가지 정의는 동일한 것이다.

(문항 2) $\displaystyle f(z)$ 가 $\displaystyle [a,b]$ 에서의 최대값이라고 하자.

(i) $\displaystyle z \in (a,b)$ 라면 함수 $\displaystyle f$ 는 $\displaystyle c<z$ 인 임의의 $\displaystyle c$ 에 대해

$\displaystyle \frac{f(z)-f(c)}{z-c}\ge0$

이므로

$\displaystyle f^{\prime}(z)=\lim_{c\to z^-}\frac{f(c)-f(z)}{c-z}=\lim_{c\to z^-}\frac{f(z)-f(c)}{z-c}\ge0$

가 성립한다. 마찬가지로,

$\displaystyle f^{\prime}(z)=\lim_{d\to z^+}\frac{f(d)-f(z)}{d-z}\le0$

가 성립한다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(z)=0$ 이 성립하므로 $\displaystyle z$ 는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 인 $\displaystyle x$ 들 중 하나이다.

(ii) $\displaystyle z=a$ 또는 $\displaystyle z=b$ 일 가능성도 있으므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 인 $\displaystyle x$ 이외에 $\displaystyle f(a)$ 와 $\displaystyle f(b)$ 까지 고려하면 이들 가운데 하나가 최대값이 된다.

(문항 3) 다음의 두 가지 경우에는 [다]의 방법을 실행할 수 없다.

(i) 함수의 근을 구하는 일반적인 방법은 알려져 있지 않기 때문에 도함수의 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 인 $\displaystyle x$ 를 구할 수 없는 경우가 있을 수 있다.

(ii) $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 을 만족하는 $\displaystyle x$ 가 무한히 많은 경우에는 이들의 함수 값을 구하여 비교하지 못할 수도 있다.