상경계열 3번

(문항 1)

계란이 2개, 바구니도 2개 있고 각각의 바구니를 떨어뜨릴 확률이 $\displaystyle \frac12$이라고 가정하자.

① 계란을 하나의 바구니에 모두 담았을 경우;

기대값은 $\displaystyle 2\times\frac12=1$이 되며, 분산은 $\displaystyle (2-1)^2\times\frac12+(0-1)^2\times\frac12=1$이다.

② 계란을 2개의 바구니에 하나씩 나누어서 담았을 경우;

기대값은 $\displaystyle 2\times\frac14+1\times\frac12+0\times\frac14=1$으로 동일하나,

분산은 $\displaystyle (2-1)^2\times\frac14+(1-1)^2\times\frac12+(0-1)^2\times\frac14=\frac12$로 줄어들게 된다.

따라서 계란을 2개의 바구니에 하나씩 나누어서 담는 경우가 같은 기대값에 대하여 더 작은 분산(혹은 표준편차)을 갖게 되기 때문에, 위험을 줄일 수 있다.

(문항 2)

계란이 4개, 바구니가 3개 있고 각각의 바구니를 떨어뜨릴 확률이 $\displaystyle \frac12$이라고 가정하자.

① 계란을 하나의 바구니에 모두 담았을 경우 ($\displaystyle 4+0+0$인 경우) ;

기대값은 $\displaystyle 4\times\frac12=2$이 되며, 분산은 $\displaystyle (4-2)^2\times\frac12+2\times(0-1)^2\times\frac12=3$이다.Correction. 한 바구니에 든 계란 수의 분산은 $\displaystyle (4-2)^2/2+(0-2)^2/2=4$이다. 원문의 두 번째 항과 결과 $\displaystyle 3$은 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

② 계란 3개, 1개를 서로 다른 바구니에 나누어서 담았을 경우 ($\displaystyle 3+1+0$인 경우);

기대값은 $\displaystyle 4\times\frac14+3\times\frac12+1\times\frac12+0\times\frac14=3$이고,Comment. 각 바구니가 떨어지는 사건이 서로 독립이라고 가정하면, 살아남는 계란 수 $\displaystyle 4,3,1,0$의 확률은 모두 $\displaystyle 1/4$이다. 따라서 기댓값은 $\displaystyle 4\times\frac14+3\times\frac14+1\times\frac14+0\times\frac14=2$이다.

분산은 $\displaystyle (4-3)^2\times\frac14+(3-3)^2\times\frac12+(1-3)^2\times\frac12+(0-3)^2\times\frac14=\frac92$가 된다.Comment. 독립 가정 아래에서 살아남는 계란 수의 기댓값은 $\displaystyle 2$이고, 각 경우의 확률은 $\displaystyle 1/4$이다. 따라서 분산은 $\displaystyle \frac{(4-2)^2+(3-2)^2+(1-2)^2+(0-2)^2}{4}=\frac52$이다.

③ 계란 2개, 2개를 서로 다른 바구니에 나누어서 담았을 경우 ($\displaystyle 2+2+0$인 경우);

기대값은 $\displaystyle 4\times\frac14+2\times\frac12+0\times\frac14=2$이고,

분산은 $\displaystyle (4-2)^2\times\frac14+(2-2)^2\times\frac12+(0-2)^2\times\frac14=2$가 된다.

④ 계란 2개, 1개, 1개를 서로 다른 바구니에 나누어서 담았을 경우 ($\displaystyle 2+1+1$인 경우);

기대값은 $\displaystyle 4\times\frac18+3\times\frac14+2\times\frac14+1\times\frac14+0\times\frac18=2$이고,

분산은 $\displaystyle (4-2)^2\times\frac18+(3-2)^2\times\frac14+(2-2)^2\times\frac14+(1-2)^2\times\frac14+(0-2)^2\times\frac18=\frac32$이 된다.

따라서 계란을 3개의 바구니에 2개, 1개, 1개씩 나누어서 담는 경우가 같은 기대값에 대하여 더 작은 분산(혹은 표준편차)을 갖게 되기 때문에, 위험을 줄일 수 있다.