한양대 서울캠퍼스 2010학년도 모의 상경계열 3번 해설

<논술 3>다음 제시문을 읽고 아래의 문제에 답하시오.

1995년 노벨 경제학상을 받은 로버트 루카스는 각 경제의 주체가 과거의 경험과 통계적 수치보다 현재 이용가능한 모든 정보를 적절히 사용하여 미래를 예측하고 경제적인 행동을 합리적으로 한다고 주장하였다. 이것을 합리적 기대가설이라고 한다. 실제로 주식시장에서 합리적 기대가설의 영향은 매우 크다고 알려져 있다. 그러면 사람들의 일상적인 행동들이 합리적인지의 여부를 확률/통계적으로 알아보고자 한다.

주식 투자에 있어 “계란을 한 바구니에 담지 말라”는 유명한 격언이 있다. 이 말은 주식투자를 할 때, 한 곳에 집중 투자를 할 경우 그 주가가 떨어지면 모든 돈을 잃을 수 있기 때문에 여러 곳에 분산투자를 하라는 것이다. 다음의 문제에 대하여 답하여라.

(1) 계란 2개와 바구니 2개가 있고, 각각의 바구니를 떨어뜨릴 확률이 1/2이라고 가정하자. 이때 계란을 어떻게 나누어서 담는 것이 과연 위험을 줄일 수 있는지 기대값과 분산을 계산하여 설명하시오.Note. 두 사건 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 에 대하여 $\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 가 성립하면 두 사건을 서로 독립이라고 한다.Comment. 각 바구니의 낙하 사건이 서로 독립이라는 가정이 추가되어야 대학 답안의 결합확률 계산과 분산 비교가 성립한다.

(2) 계란 4개와 바구니 3개가 있고, 각각의 바구니를 떨어뜨릴 확률이 1/2이라고 가정하자. 이때 계란을 어떻게 나누어서 담는 것이 과연 위험을 줄일 수 있는지 기대값과 분산을 계산하여 설명하시오.Comment. 각 바구니의 낙하 사건이 서로 독립이라는 가정이 추가되어야 대학 답안의 결합확률 계산과 분산 비교가 성립한다.

한양대 서울캠퍼스 2010학년도 모의 상경계열 3번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2010mo/sanggyeong_3

(문항 1)

계란이 2개, 바구니도 2개 있고 각각의 바구니를 떨어뜨릴 확률이 $\displaystyle \frac12$ 이라고 가정하자.

① 계란을 하나의 바구니에 모두 담았을 경우;

기대값은 $\displaystyle 2\times\frac12=1$ 이 되며, 분산은 $\displaystyle (2-1)^2\times\frac12+(0-1)^2\times\frac12=1$ 이다.

② 계란을 2개의 바구니에 하나씩 나누어서 담았을 경우;

기대값은 $\displaystyle 2\times\frac14+1\times\frac12+0\times\frac14=1$ 으로 동일하나,

분산은 $\displaystyle (2-1)^2\times\frac14+(1-1)^2\times\frac12+(0-1)^2\times\frac14=\frac12$ 로 줄어들게 된다.

따라서 계란을 2개의 바구니에 하나씩 나누어서 담는 경우가 같은 기대값에 대하여 더 작은 분산(혹은 표준편차)을 갖게 되기 때문에, 위험을 줄일 수 있다.

(문항 2)

계란이 4개, 바구니가 3개 있고 각각의 바구니를 떨어뜨릴 확률이 $\displaystyle \frac12$ 이라고 가정하자.

① 계란을 하나의 바구니에 모두 담았을 경우 ( $\displaystyle 4+0+0$ 인 경우) ;

기대값은 $\displaystyle 4\times\frac12=2$ 이 되며, 분산은 $\displaystyle (4-2)^2\times\frac12+2\times(0-1)^2\times\frac12=3$ 이다.Correction. 한 바구니에 든 계란 수의 분산은 $\displaystyle (4-2)^2/2+(0-2)^2/2=4$ 이다. 원문의 두 번째 항과 결과 $\displaystyle 3$ 은 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

② 계란 3개, 1개를 서로 다른 바구니에 나누어서 담았을 경우 ( $\displaystyle 3+1+0$ 인 경우);

기대값은 $\displaystyle 4\times\frac14+3\times\frac12+1\times\frac12+0\times\frac14=3$ 이고,Correction. 기댓값 계산에서 살아남는 계란 수가 3, 1인 경우의 확률을 각각 $\displaystyle \frac12$ 로 쓴 것과 결과 3은 오기이다. 대학 답안처럼 각 바구니의 낙하를 서로 독립으로 보면, 살아남는 계란 수 4, 3, 1, 0의 확률은 모두 $\displaystyle \frac14$ 이므로 기댓값은 $\displaystyle 4\times\frac14+3\times\frac14+1\times\frac14+0\times\frac14=2$ 이다. 기댓값이 2라는 사실 자체는 독립 가정 없이도 $\displaystyle 3\times\frac12+1\times\frac12=2$ 로 확인할 수 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

분산은 $\displaystyle (4-3)^2\times\frac14+(3-3)^2\times\frac12+(1-3)^2\times\frac12+(0-3)^2\times\frac14=\frac92$ 가 된다.Correction. 분산 계산에는 앞에서 잘못 구한 기댓값 3과 잘못된 확률이 그대로 사용되었다. 대학 답안처럼 각 바구니의 낙하를 서로 독립으로 보면, 기댓값은 2이고 살아남는 계란 수 4, 3, 1, 0의 확률은 모두 $\displaystyle \frac14$ 이다. 따라서 분산은 $\displaystyle \frac{(4-2)^2+(3-2)^2+(1-2)^2+(0-2)^2}{4}=\frac52$ 이며, 원문의 분산 식과 결과 $\displaystyle \frac92$ 는 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

③ 계란 2개, 2개를 서로 다른 바구니에 나누어서 담았을 경우 ( $\displaystyle 2+2+0$ 인 경우);

기대값은 $\displaystyle 4\times\frac14+2\times\frac12+0\times\frac14=2$ 이고,

분산은 $\displaystyle (4-2)^2\times\frac14+(2-2)^2\times\frac12+(0-2)^2\times\frac14=2$ 가 된다.

④ 계란 2개, 1개, 1개를 서로 다른 바구니에 나누어서 담았을 경우 ( $\displaystyle 2+1+1$ 인 경우);

기대값은 $\displaystyle 4\times\frac18+3\times\frac14+2\times\frac14+1\times\frac14+0\times\frac18=2$ 이고,

분산은 $\displaystyle (4-2)^2\times\frac18+(3-2)^2\times\frac14+(2-2)^2\times\frac14+(1-2)^2\times\frac14+(0-2)^2\times\frac18=\frac32$ 이 된다.

따라서 계란을 3개의 바구니에 2개, 1개, 1개씩 나누어서 담는 경우가 같은 기대값에 대하여 더 작은 분산(혹은 표준편차)을 갖게 되기 때문에, 위험을 줄일 수 있다.

다음 경우는 0점 처리될 수 있습니다.1) 답안을 검정 볼펜으로 작성하지 않은 경우2) 자신의 신원을 드러내는 불필요한 표기를 한 경우3) 수정액이나 수정테이프를 사용한 경우4) 답을 해당 답란에 작성하지 않은 경우

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

상경계열 3번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개