한양대 서울캠퍼스 2010학년도 모의 상경계열 2번 해설

<논술 2>다음 제시문을 읽고 지시에 따라 논술하시오.

[가]좌표평면 위의 점 $\displaystyle (a, b)$ 의 $\displaystyle x$ 축에 대해 대칭인 점은 $\displaystyle (a, -b)$ 인데, 이것은 $\displaystyle b \ne 0$ 일 때 두 점을 잇는 직선이 $\displaystyle x$ 축에 수직이고 두 점의 중점이 $\displaystyle (a, 0)$ 으로서 $\displaystyle x$ 축 위에 있고, $\displaystyle (a, b)$ 가 $\displaystyle x$ 축 위에 있을 때, 즉 $\displaystyle b=0$ 일 때는, $\displaystyle (a, b)$ 의 $\displaystyle x$ 축에 대해 대칭인 점이 자기자신이 될 텐데 실제로 이때 $\displaystyle (a,-b)=(a,b)$ 라는 의미에서 그러하다.비슷하게 $\displaystyle (a, b)$ 의 직선 $\displaystyle y=x$ 에 대해 대칭인 점은 $\displaystyle (b,a)$ 인데, 그것은 $\displaystyle a \ne b$ 일 때 두점을 잇는 직선이 그 기울기가 $\displaystyle -1$ 이므로 직선 $\displaystyle y=x$ 와 수직이고 두 점의 중점이 $\displaystyle (\frac{a+b}2,\frac{b+a}2)$ 으로서 직선 $\displaystyle y=x$ 위에 있고, $\displaystyle (a, b)$ 가 직선 $\displaystyle y=x$ 위에 있을 때, 즉 $\displaystyle a=b$ 일 때, $\displaystyle (a, b)$ 의 직선 $\displaystyle y=x$ 에 대해 대칭인 점은 자기자신이 될 텐데 실제로 이때 $\displaystyle (b,a)=(a,b)$ 라는 의미에서 그러하다 .

[나]좌표평면의 부분집합 $\displaystyle A= \{ (x, y) | y= x^2 \}$ 은 $\displaystyle y$ 축에 대해 대칭인데, 그것은 $\displaystyle A$ 에 속하는 임의의 점의 $\displaystyle y$ 축에 대해 대칭인 점이 다시 $\displaystyle A$ 에 속하는 점이라는 의미에서 그러하다. 이것은 좌표평면 위의 점 $\displaystyle (a, b)$ 가 $\displaystyle A$ 에 속하면, 즉 $\displaystyle b=a^2$ 을 만족하면, $\displaystyle (a, b)$ 의 $\displaystyle y$ 축에 대해 대칭인 점 $\displaystyle (-a, b)$ 도 $\displaystyle b=(-a)^2$ 을 만족한다는 사실로부터 알 수 있다.

(1) 좌표평면의 점 $\displaystyle (a, b)$ 의 직선 $\displaystyle y=-x$ 에 대해 대칭인 점이 $\displaystyle (-b, -a)$ 임을 설명하시오.

(2) 좌표평면의 부분집합 $\displaystyle B= \{ (x,y) | x^4 + y^4 =1 \}$ 이 어떤 직선들에 대해 대칭인지 답하고 설명하시오.

(3) $\displaystyle a$ 가 실수일 때 좌표평면의 부분집합 $\displaystyle C= \{ (x, y) | x^2 + y^2 =a \}$ 을 생각하자. $\displaystyle B { }$ 가 위 2번 물음에서와 같다고 할 때 $\displaystyle B \cap C$ 의 원소의 개수가 $\displaystyle a$ 의 값에 따라 어떻게 변하는지 서술하시오.

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(문항 1)

$\displaystyle b \ne -a$ 일 때, 즉 $\displaystyle (a,b)$ 가 직선 $\displaystyle y= -x$ 위의 점이 아닐 때, $\displaystyle (a, b)$ 와 $\displaystyle (-b, -a)$ 를 지나는 직선은 그 기울기가 $\displaystyle 1$ 이므로 직선 $\displaystyle y= -x$ 과 수직이고 $\displaystyle (a, b)$ 와 $\displaystyle (-b, -a)$ 의 중점이 $\displaystyle (\frac{a-b}2,\frac{b-a}2)$ 으로서 직선 $\displaystyle y= -x$ 위에 있고, $\displaystyle b=-a$ 일 때, 즉 $\displaystyle (a,b)$ 가 직선 $\displaystyle y= -x$ 위의 점일 때 $\displaystyle (-b, -a)= (-(-a), -(-b))=(a,b)$ 이므로 이때 $\displaystyle (a,b)$ 의 직선 $\displaystyle y= -x$ 에 대칭인 점이 자기자신이어야 한다는 것과 부합한다. 즉 일반적으로 $\displaystyle (a, b)$ 의 직선 $\displaystyle y=-x$ 에 대해 대칭인 점은 $\displaystyle (-b, -a)$ 이다.

(문항 2)

a) $\displaystyle (x, y)$ 가 $\displaystyle B$ 에 속하면, 즉 $\displaystyle x^4 + y^4 =1$ 을 만족하면

$\displaystyle x^4 +(-y)^4 =x^4 + y^4 =1$

이므로, $\displaystyle (x, y)$ 의 $\displaystyle x$ 축에 대해 대칭인 점 $\displaystyle (x, -y)$ 가 다시 $\displaystyle B$ 의 원소임을 알 수 있다. [나]에 의해 $\displaystyle B$ 는 $\displaystyle x$ 축에 대해 대칭이다.

b) 먼저 좌표평면 위의 점 $\displaystyle (a, b)$ 의 $\displaystyle y$ 축에 대해 대칭인 점은 $\displaystyle (-a, b)$ 임을 쉽게 알 수 있다. 그러면 $\displaystyle (-x)^4 +y^4 =x^4 + y^4$ 임을 이용하면 a)와 같은 방식으로 $\displaystyle B$ 가 $\displaystyle y$ 축에 대해 대칭임을 알 수 있다.

c) $\displaystyle y^4 +x^4 =x^4 + y^4$ 임을 이용하면 $\displaystyle B$ 가 직선 $\displaystyle y=x$ 에 대해 대칭임을 알 수 있다.

d) $\displaystyle (-y)^4 + (-x)^4 = x^4 + y^4$ 임을 이용하면 $\displaystyle B$ 가 직선 $\displaystyle y=-x$ 에 대해 대칭임을 알 수 있다.

(문항 3)

$\displaystyle (x, y)$ 가 $\displaystyle B \cap C$ 의 원소라고 하자. 즉, 실수 $\displaystyle x, y$ 가 식 $\displaystyle x^4 + y^4 =1$ 과 $\displaystyle x^2 + y^2 =a$ 을 동시에 만족한다고 하자. 이제 $\displaystyle X = x^2 , Y=y^2$ 이라 두면 $\displaystyle X , Y$ 는 음이 아닌 실수이고 $\displaystyle X^{2} +Y^{2} =1, X+Y=a$ 를 만족한다. 이로부터 (그림을 통해) $\displaystyle a<1$ 이거나 $\displaystyle a>\sqrt2$ 이면 이 조건을 만족하는 $\displaystyle X$ 와 $\displaystyle Y$ 의 쌍이 없다는 것을 알 수 있고, 따라서 $\displaystyle B \cap C$ 의 원소의 개수도 $\displaystyle 0$ 임을 알 수 있다. $\displaystyle a=1$ 이거나 $\displaystyle a=\sqrt2$ 이면, $\displaystyle B$ 와 $\displaystyle C$ 의 대칭성에 의해 $\displaystyle B \cap C$ 의 원소이 개수가 $\displaystyle 4$ 임을 알 수 있다. $\displaystyle 1<a<\sqrt2$ 이면 마찬가지로 $\displaystyle B \cap C$ 의 원소의 개수가 $\displaystyle 8$ 임을 알 수 있다.Correction. “원소이 개수”는 “원소의 개수”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

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상경계열 2번

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