상경계열 2번

(문항 1)

$\displaystyle b \ne -a$일 때, 즉 $\displaystyle (a,b)$가 직선 $\displaystyle y= -x$ 위의 점이 아닐 때, $\displaystyle (a, b)$와 $\displaystyle (-b, -a)$를 지나는 직선은 그 기울기가 $\displaystyle 1$이므로 직선 $\displaystyle y= -x$과 수직이고 $\displaystyle (a, b)$와 $\displaystyle (-b, -a)$의 중점이 $\displaystyle (\frac{a-b}2,\frac{b-a}2)$으로서 직선 $\displaystyle y= -x$ 위에 있고, $\displaystyle b=-a$일 때, 즉 $\displaystyle (a,b)$가 직선 $\displaystyle y= -x$ 위의 점일 때 $\displaystyle (-b, -a)= (-(-a), -(-b))=(a,b)$이므로 이때 $\displaystyle (a,b)$의 직선 $\displaystyle y= -x$에 대칭인 점이 자기자신이어야 한다는 것과 부합한다. 즉 일반적으로 $\displaystyle (a, b)$의 직선 $\displaystyle y=-x$에 대해 대칭인 점은 $\displaystyle (-b, -a)$이다.

(문항 2)

a) $\displaystyle (x, y)$가 $\displaystyle B$에 속하면, 즉 $\displaystyle x^4 + y^4 =1$을 만족하면

$\displaystyle x^4 +(-y)^4 =x^4 + y^4 =1$

이므로, $\displaystyle (x, y)$의 $\displaystyle x$축에 대해 대칭인 점 $\displaystyle (x, -y)$가 다시 $\displaystyle B$의 원소임을 알 수 있다. [나]에 의해 $\displaystyle B$는 $\displaystyle x$축에 대해 대칭이다.

b) 먼저 좌표평면 위의 점 $\displaystyle (a, b)$의 $\displaystyle y$축에 대해 대칭인 점은 $\displaystyle (-a, b)$임을 쉽게 알 수 있다. 그러면 $\displaystyle (-x)^4 +y^4 =x^4 + y^4$임을 이용하면 a)와 같은 방식으로 $\displaystyle B$가 $\displaystyle y$축에 대해 대칭임을 알 수 있다.

c) $\displaystyle y^4 +x^4 =x^4 + y^4$임을 이용하면 $\displaystyle B$가 직선 $\displaystyle y=x$에 대해 대칭임을 알 수 있다.

d) $\displaystyle (-y)^4 + (-x)^4 = x^4 + y^4$임을 이용하면 $\displaystyle B$가 직선 $\displaystyle y=-x$에 대해 대칭임을 알 수 있다.

(문항 3)

$\displaystyle (x, y)$가 $\displaystyle B \cap C$의 원소라고 하자. 즉, 실수 $\displaystyle x, y$가 식 $\displaystyle x^4 + y^4 =1$과 $\displaystyle x^2 + y^2 =a$을 동시에 만족한다고 하자. 이제 $\displaystyle X = x^2 , Y=y^2$이라 두면 $\displaystyle X , Y$ 는 음이 아닌 실수이고 $\displaystyle X^{2} +Y^{2} =1, X+Y=a$를 만족한다. 이로부터 (그림을 통해) $\displaystyle a<1$이거나 $\displaystyle a>\sqrt2$이면 이 조건을 만족하는 $\displaystyle X$와 $\displaystyle Y$의 쌍이 없다는 것을 알 수 있고, 따라서 $\displaystyle B \cap C$의 원소의 개수도 $\displaystyle 0$임을 알 수 있다. $\displaystyle a=1$이거나 $\displaystyle a=\sqrt2$이면, $\displaystyle B$와 $\displaystyle C$의 대칭성에 의해 $\displaystyle B \cap C$의 원소이 개수가 $\displaystyle 4$임을 알 수 있다. $\displaystyle 1<a<\sqrt2$이면 마찬가지로 $\displaystyle B \cap C$의 원소의 개수가 $\displaystyle 8$임을 알 수 있다.Correction. “원소이 개수”는 “원소의 개수”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.