자연계열 1번

(문항 1) $\displaystyle 4x^3 + 6x^2 -2x -1 = (2x^2 +4x+1) (2x-1) = 0$ 의 해는 $\displaystyle x=\frac12,\frac{-2\pm\sqrt2}2$이다.그리고 $\displaystyle -2<\frac{-2-\sqrt2}2<-1<\frac{-2+\sqrt2}2<0<\frac12<1$이다.

($\displaystyle a=1$인 경우)$\displaystyle x>\frac12$에서는 함수의 그래프가 아래로 볼록이고 증가하는 함수이고 $\displaystyle f(1)> 0$이므로$\displaystyle (1, f(1))$에서 접선은 함수의 그래프 아래 부분에 있고 접선의 $\displaystyle x$절편인 $\displaystyle a_1$은 $\displaystyle \frac12<a_1<1$을 만족한다.$\displaystyle (a_1 , f( a_1 ))$에서 접선은 함수의 그래프 아래 부분에 있고 접선의 $\displaystyle x$절편인 $\displaystyle a_2$은 $\displaystyle \frac12<a_2<a_1$을 만족한다.같은 방법으로$\displaystyle (a_k , f( a_k ))$에서 접선은 함수의 그래프 아래 부분에 있고 접선의 $\displaystyle x$절편인 $\displaystyle a_{k+1}$은 $\displaystyle \frac12<a_{k+1}<a_k$을 만족한다.따라서 $\displaystyle a_n$은 폐구간 $\displaystyle [\frac12,1]$에서 수열이며 단조수열이다. 그러므로 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 수렴한다.

($\displaystyle a=-2$인 경우)$\displaystyle x<\frac{-2-\sqrt2}2$에서는 함수의 그래프가 위로 볼록이고 증가하는 함수이고 $\displaystyle f(-2) <0$이므로$\displaystyle (-2, f(-2))$에서 접선은 함수의 그래프 위 부분에 있고 접선의 $\displaystyle x$절편인 $\displaystyle a_1$은 $\displaystyle -2<a_1<\frac{-2-\sqrt2}2$이다.$\displaystyle (a_1 , f( a_1 ))$에서 접선은 함수의 그래프 위 부분에 있고 접선의 $\displaystyle x$절편인 $\displaystyle a_2$은 $\displaystyle a_1<a_2<\frac{-2-\sqrt2}2$을 만족한다.같은 방법으로$\displaystyle (a_k , f( a_k ))$에서 접선은 함수의 그래프 위 부분에 있고 접선의 $\displaystyle x$절편인 $\displaystyle a_{k+1}$은 $\displaystyle a_k<a_{k+1}<\frac{-2-\sqrt2}2$을 만족.따라서 $\displaystyle a_n$은 폐구간 $\displaystyle [-2,\frac{-2-\sqrt2}2]$에서 수열이며 단조수열이다. 그러므로 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 수렴한다.

(문항 2) $\displaystyle f^{\prime}(x)=12x^2+12x-2$ 이고 $\displaystyle 12x^2 + 12 x -2 = 0$ 의 근은 $\displaystyle x=\frac{-3\pm\sqrt{15}}6$이고극댓값은 $\displaystyle x=\frac{-3-\sqrt{15}}6$에서 극솟값은 $\displaystyle x=\frac{-3+\sqrt{15}}6$에서 있다.

$\displaystyle (x_1 , f(x_1 ))$에서 접선의 식은$\displaystyle y-(4x_1^3 + 6 x_1^2 - 2x_1 -1 ) = (12x_1^2 + 12 x_1 -2 ) (x- x_1 )$이고 $\displaystyle (\frac12,0)$을 지나므로$\displaystyle -(4x_1^3+6x_1^2-2x_1-1)=(12x_1^2+12x_1-2)(\frac12-x_1)$이다.방정식을 풀면 $\displaystyle x_1=\frac12,-1$이다.

($\displaystyle x_1=\frac12$인 경우)$\displaystyle y-(4x_1^3 + 6 x_1^2 - 2x_1 -1 ) = (12x_1^2 + 12 x_1 -2 ) (x- x_1 )$에서 $\displaystyle y=7(x-\frac12)$ 이다.($\displaystyle x_1 = -1$인 경우)$\displaystyle y-(4x_1^3 + 6 x_1^2 - 2x_1 -1 ) = (12x_1^2 + 12 x_1 -2 ) (x- x_1 )$에서 $\displaystyle y= -2 ( x +1 ) + 3$ 이다.

그리고 $\displaystyle \frac{-3-\sqrt{15}}6<a=-\frac{10^9+1}{10^9}<-1$ 이고$\displaystyle (a, f(a))$에서 접선의 $\displaystyle x$절편인 $\displaystyle a_1$은 $\displaystyle a_1>\frac12$ 이므로$\displaystyle x>\frac12$에서는 함수의 그래프가 아래로 볼록이고 증가하는 함수이고 $\displaystyle f(a_1 )> 0$이므로$\displaystyle (a_1 , f(a_1 ))$에서 접선은 함수의 그래프 아래 부분에 있고 접선의 $\displaystyle x$절편인 $\displaystyle a_2$은 $\displaystyle \frac12<a_2<a_1$을 만족한다.$\displaystyle (a_2 , f( a_2 ))$에서 접선은 함수의 그래프 아래 부분에 있고 접선의 $\displaystyle x$절편인 $\displaystyle a_3$은 $\displaystyle \frac12<a_3<a_2$을 만족한다.같은 방법으로$\displaystyle (a_k , f( a_k ))$에서 접선은 함수의 그래프 아래 부분에 있고 접선의 $\displaystyle x$절편인 $\displaystyle a_{k+1}$은 $\displaystyle \frac12<a_{k+1}<a_k$을 만족한다.따라서 $\displaystyle a_n$은 폐구간 $\displaystyle [\frac12,a_1]$에서 수열이며 단조수열이다. 그러므로 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 수렴한다.

(문항 3) $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=24x+12$ 이고 $\displaystyle 24 x + 12 = 0$ 의 근은 $\displaystyle x=-\frac12$이다.

($\displaystyle a=0$인 경우)접선의 식은 $\displaystyle y+1 = -2 (x-0)$ 이므로 $\displaystyle a_1=-\frac12$이다.$\displaystyle f(-\frac12)=1>0$ 이고 접선의 식은 $\displaystyle y-1=-7(x+\frac12)$이고 $\displaystyle a_2=-\frac5{14}<\frac{-2+\sqrt2}2$Comment. 대학 예시답안의 접선 기울기와 $\displaystyle a_2$ 계산에 오류가 있다. $\displaystyle f'(-\frac12)=-5$이므로 접선의 식은 $\displaystyle y-1=-5(x+\frac12)$이고, $\displaystyle a_2=-\frac3{10}$이다. 이 값을 바로잡아도 수열이 수렴한다는 결론은 옳다.$\displaystyle \frac12<x<\frac{-2+\sqrt2}2$에서는 함수의 그래프가 아래로 볼록이고 감소하는 함수이고 $\displaystyle f( a_1 ) = 1 > 0$이므로Correction. 구간의 왼쪽 끝점 $\displaystyle 1/2$는 $\displaystyle -1/2$의 오기이다. 바른 범위는 $\displaystyle -1/2<x<(-2+\sqrt2)/2$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle (a_1 , f(a_1 ))$에서 접선은 함수의 그래프 아래 부분에 있고 접선의 $\displaystyle x$절편인 $\displaystyle a_2$은 $\displaystyle a_1=-\frac12<a_2<\frac{-2+\sqrt2}2$을 만족.$\displaystyle (a_2 , f( a_2 ))$에서 접선은 함수의 그래프 아래 부분에 있고 접선의 $\displaystyle x$절편인 $\displaystyle a_3$은 $\displaystyle a_2<a_3<\frac{-2+\sqrt2}2$을 만족한다.같은 방법으로$\displaystyle (a_k , f( a_k ))$에서 접선은 함수의 그래프 아래 부분에 있고 접선의 $\displaystyle x$절편인 $\displaystyle a_{k+1}$은 $\displaystyle a_k<a_{k+1}<\frac{-2+\sqrt2}2$을 만족.따라서 $\displaystyle a_n$은 폐구간 $\displaystyle [-\frac12,\frac{-2+\sqrt2}2]$에서 수열이며 단조수열이다. 그러므로 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 수렴한다.