상경계열 2번

(1) 점화식 $\displaystyle a-bP_{t} =-c+dP_{t-1}$로부터 수열 {$\displaystyle P_{t}$}를 구하면 된다. 이 식을 변형하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle P_t=-\frac db P_{t-1}+\frac{a+c}b$ (1)

이 식을 다음과 같이 변형하면 등비수열의 일반항 공식을 이용할 수 있다.

$\displaystyle P_t-k=-\frac db(P_{t-1}-k)$ (2)

(2)식과 (1)식을 비교하면 $\displaystyle k=\frac{a+c}{b+d}$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle P_t-\frac{a+c}{b+d}$는 공비가 $\displaystyle -\frac db$이고 첫째 항이 $\displaystyle P_1-\frac{a+c}{b+d}$인 등비수열을 이룬다. 따라서

$\displaystyle P_t-\frac{a+c}{b+d}=(P_1-\frac{a+c}{b+d})(-\frac db)^{t-1}$

을 얻고 이로부터 다음을 얻는다.

$\displaystyle P_t=\left(P_1-\frac{a+c}{b+d}\right)\left(-\frac db\right)^{t-1}+\frac{a+c}{b+d}$

(2) 위 식에서 $\displaystyle P_{t}$가 수렴하기 위해서는 $\displaystyle \left|-\frac db\right|<1$이어야 한다. $\displaystyle b, d$가 모두 양수이므로 이는 $\displaystyle d<b$와 같다. 이때 $\displaystyle P_t\to\frac{a+c}{b+d}$이다.Comment. 초기값이 $\displaystyle P_1=(a+c)/(b+d)$이면 모든 항이 같은 상수수열이므로 $\displaystyle d\ge b$인 경우에도 수렴한다. 원문의 $\displaystyle d<b$는 초기값이 이 평형가격과 다를 때의 수렴 조건이다.