한양대 서울캠퍼스 2011학년도 모의 2차 2회 상경계열 2번 해설

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

어느 농산물의 시장가격과 거래량에 대해 생각해 보자. 이 농산물에 대한 수요는 그 해의 해당 농산물 가격에 의해 결정되는 반면, 공급은 전년도의 시장가격에 의해 결정된다. 즉 생산자들은 전년도의 농산물 가격에 맞추어 올해의 생산량을 결정한다. 구체적으로 수요와 공급이 다음과 같은 식에 의해 결정된다고 하자.

수요: $\displaystyle D_{t} =a-bP_{t}$

공급: $\displaystyle S_{t} =-c+dP_{t-1}$

이 식에서 $\displaystyle D_{t}$ 는 연도 $\displaystyle t$ 의 수요량, $\displaystyle S_{t}$ 는 연도 $\displaystyle t$ 의 공급량, $\displaystyle P_{t}$ 는 연도 $\displaystyle t$ 의 시장가격, $\displaystyle P_{t-1}$ 은 연도 $\displaystyle (t-1)$ 의 시장가격을 가리킨다. 한편 $\displaystyle a, b, c, d$ 는 상수로 모두 양수 값을 가진다. 연도 $\displaystyle t$ 의 시장균형조건은 수요량과 공급량이 일치하는 것이다. 즉 $\displaystyle D_{t} =S_{t}$ 이다. 이 농산물의 최초의 가격은 $\displaystyle P_{1}$ 으로 주어져 있다.

우리는 시간이 흐름에 따라 이 농산물의 가격이 장기적으로 어떤 움직임을 보일지에 관심을 가지고 있다. 다음 물음에 답하라.

(1) 위 식에서 균형조건이 만족 될 때, 연도 $\displaystyle t$ 의 가격 $\displaystyle P_{t}$ 를 초기값 $\displaystyle P_{1}$ 을 이용하여 $\displaystyle t$ 의 함수로 표현하시오.

(2) 시간이 경과됨에 따라 시장가격이 어떤 가격수준으로 수렴하기 위해서는 어떤 조건이 필요한지 구하라. 또한 이때 장기적으로 도달하는 가격수준을 구하라.

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(1) 점화식 $\displaystyle a-bP_{t} =-c+dP_{t-1}$ 로부터 수열 { $\displaystyle P_{t}$ }를 구하면 된다. 이 식을 변형하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle P_t=-\frac db P_{t-1}+\frac{a+c}b$ (1)

이 식을 다음과 같이 변형하면 등비수열의 일반항 공식을 이용할 수 있다.

$\displaystyle P_t-k=-\frac db(P_{t-1}-k)$ (2)

(2)식과 (1)식을 비교하면 $\displaystyle k=\frac{a+c}{b+d}$ 를 얻는다. 따라서 $\displaystyle P_t-\frac{a+c}{b+d}$ 는 공비가 $\displaystyle -\frac db$ 이고 첫째 항이 $\displaystyle P_1-\frac{a+c}{b+d}$ 인 등비수열을 이룬다. 따라서

$\displaystyle P_t-\frac{a+c}{b+d}=(P_1-\frac{a+c}{b+d})(-\frac db)^{t-1}$

을 얻고 이로부터 다음을 얻는다.

$\displaystyle P_t=\left(P_1-\frac{a+c}{b+d}\right)\left(-\frac db\right)^{t-1}+\frac{a+c}{b+d}$

(2) 위 식에서 $\displaystyle P_{t}$ 가 수렴하기 위해서는 $\displaystyle \left|-\frac db\right|<1$ 이어야 한다. $\displaystyle b, d$ 가 모두 양수이므로 이는 $\displaystyle d<b$ 와 같다. 이때 $\displaystyle P_t\to\frac{a+c}{b+d}$ 이다.Comment. 초기값이 $\displaystyle P_1=(a+c)/(b+d)$ 이면 모든 항이 같은 상수수열이므로 $\displaystyle d\ge b$ 인 경우에도 수렴한다. 원문의 $\displaystyle d<b$ 는 초기값이 이 평형가격과 다를 때의 수렴 조건이다.

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<세부 평가기준>① 균형조건 이해② $\displaystyle P_{t}$ 를 $\displaystyle t$ 에 대한 함수 $\displaystyle P(t)$ 표현③ $\displaystyle \lim_{t\to\infty}P_t$ 의 수렴조건④ 수렴한다면 수렴값

A: ①~④ 모두 완벽B: ①~④ 계산상 오류C: ①~② 함수표현까지 완벽D~F: 그 외 경우

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상경계열 2번

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