수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 2번

한양대 서울캠퍼스 2011학년도 모의 2차 2회 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2011mo_2_2/jayeon_2

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문제

<논술 2>다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 선분 AB\displaystyle AB를 지름으로 하는 원 위의 점 X\displaystyle X에 대해, X\displaystyle X가 A\displaystyle A나 B\displaystyle B가 아니면 각 AXB\displaystyle AXB는 반드시 직각이다.

(나) 서로 다른 두 개의 구가 서로 다른 두 점을 공유하면 그 두 구는 그 두 점을 지나는 한 원을 공유한다.

(다) 중심이 O\displaystyle O이고 반지름이 r\displaystyle r인 구 S\displaystyle S가 있을 때, 한 원과 S\displaystyle S가 서로 다른 두 점에서 만날 필요충분조건은 그 원의 점들 중 O\displaystyle O로부터의 거리가 r\displaystyle r보다 큰 것과 r\displaystyle r보다 작은 것이 모두 있는 것이다.

(1) 세 변의 길이가 4,5,6\displaystyle 4, 5, 6인 삼각형 ABC\displaystyle ABC가 있을 때, 변 AB\displaystyle AB, BC\displaystyle BC, CA\displaystyle CA를 각각 지름으로 하는 세 개의 구가 모두 만나는 점은 두 개가 있다. 그 두 점 중 하나를 D\displaystyle D라 할 때 사면체 ABCD\displaystyle ABCD의 부피를 구하시오.

(2) 삼각형 ABC\displaystyle ABC가 둔각삼각형일 때, 변 AB\displaystyle AB, BC\displaystyle BC, CA\displaystyle CA를 각각 지름으로 하는 세 개의 구가 모두 만나는 점이 없다는 것을 설명하시오.

(3) 삼각형 ABC\displaystyle ABC가 예각삼각형이면 변 AB\displaystyle AB, BC\displaystyle BC, CA\displaystyle CA를 각각 지름으로 하는 세 개의 구가 모두 만나는 점이 두 개라는 것을 설명하시오.

해설강의 준비중

한양대 서울캠퍼스 2011학년도 모의 2차 2회 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2011mo_2_2/jayeon_2

10% · 각 ADB, BDC, CDA 등이 직각임을 유추

(문항 1) 선분 AB\displaystyle AB를 지름으로 하는 구 위의 A\displaystyle A나 B\displaystyle B가 아닌 점 X\displaystyle X는, 선분 AB\displaystyle AB를 지름으로 하는 원 위의 점이므로, 제시문 (가)에 의해, 각 AXB\displaystyle AXB는 직각이다. 그러므로 각 ADB\displaystyle ADB, BDC\displaystyle BDC, CDA\displaystyle CDA는 모두 직각이다.

직육면체의 세 모서리와 사면체 ABCD
10% · 선분 DA, DB, DC과 선분 AB, BC, CA의 관계를 피타고라스 정리를 이용해 파악

따라서 사면체 ABCD\displaystyle ABCD는 위 그림과 같이 직육면체를 잘라낸 입체도형이다. 선분 AB,BC,CA\displaystyle AB, BC, CA의 길이를 각각 c,a,b\displaystyle c, a, b라 두고, 선분DA,DB,DC\displaystyle DA, DB, DC의 길이를 각각 x,y,z\displaystyle x, y, z 라 두면x2+y2=c2,y2+z2=a2,z2+x2=b2\displaystyle x^2 +y^2 = c^2 , y^2 +z^2 = a^2 , z^2 +x^2 = b^2이 성립한다. 이로부터,x2=12(−a2+b2+c2),y2=12(a2−b2+c2),z2=12(a2+b2−c2)\displaystyle x^2=\frac12(-a^2+b^2+c^2),\quad y^2=\frac12(a^2-b^2+c^2),\quad z^2=\frac12(a^2+b^2-c^2)

10% · 사면체의 부피가 16DA⋅DB⋅DC\displaystyle \frac16DA\cdot DB\cdot DC임을 유추 10% · 전체적인 구성과 완성도

를 얻는다. 사면체 ABCD\displaystyle ABCD의 부피 V\displaystyle V는 직육면체의 부피의 16\displaystyle \frac16이고, a,b,c\displaystyle a, b, c를 일반성을 잃지 않고 각각 4,5,6\displaystyle 4, 5, 6으로 두어 계산하면V=16xyz=15432.\displaystyle V=\frac16xyz=\frac{15}4\sqrt{\frac32}.

20% · 2번 문항

(문항 2) 만약 세 구의 공통 교점 D\displaystyle D가 있다면, a,b,c\displaystyle a, b, c와 x,y,z\displaystyle x, y, z를 위 (1)에서와 같게 두자. 그러면 x2,y2,z2\displaystyle x^2 , y^2 , z^2을 위에서와 같이 a,b,c\displaystyle a, b, c로 표현할 수 있고 삼각형 ABC\displaystyle ABC가 둔각심각형이면 x2,y2,z2\displaystyle x^2 , y^2 , z^2 중의 하나는 음이 된다. 이는 모순이므로 세 구의 공통 교점은 존재하지 않는다.Correction. “둔각심각형”은 “둔각삼각형”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

10% · 변 AB, AC를 지름으로 하는 두 원의 A아닌 교점이 A에서 변 BC에 내린 수선의 발임을 유추

(문항 3) 변 AB\displaystyle AB와 변 AC\displaystyle AC를 각각 지름으로 하는 평면 ABC\displaystyle ABC 위의 두 원이 만나는 A\displaystyle A아닌 교점을X\displaystyle X라 하면 각 AXB\displaystyle AXB와 각 AXC\displaystyle AXC가 모두 수직이므로A,X,B\displaystyle A, X, B는 같은 직선 위에 있고 따라서 X\displaystyle X는 꼭지점 A\displaystyle A에서 선분 BC\displaystyle BC 위로 내린 수선의 발이다.Correction. 같은 직선 위의 점 “A, X, B”는 “B, X, C”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

변 AB와 AC를 지름으로 하는 원과 수선의 발 X
30% · 제시문 (나)와 (다)를 이용하여 논증완성

제시문 (나)를 이용하면 A\displaystyle A와 X\displaystyle X는 변 AB\displaystyle AB와 변 AC\displaystyle AC를 각각 지름으로 하는 두 구가 만나는 원 위에 있음을 알 수 있다. 각 BAC\displaystyle BAC가 예각이므로 A\displaystyle A는 BC\displaystyle BC를 지름으로 하는 원의 밖에 있다. 따라서 변 BC\displaystyle BC의 중점에서 A\displaystyle A까지의 거리는 12BC\displaystyle \frac12BC보다 크다. 또한 변 BC\displaystyle BC의 중점에서 X\displaystyle X까지의 거리는 명백히 12BC\displaystyle \frac12BC보다 작으므로, 제시문 (다)에 의해 두 구가 만나는 원은 변 BC\displaystyle BC를 지름으로 하는 구와 서로 다른 두 점에서 만난다. 즉 세 구는 서로 다른 두 점에서 동시에 만난다.

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