자연계열 2번

(1) 수학적 귀납법을 사용하여 $\displaystyle a_{2n-1}a_{2n+1}=a_{2n}^2+1\ (n\ge1)$을 증명하자.$\displaystyle n=1$인 경우$\displaystyle a_1a_3=a_1(a_2+a_1)=a_1a_2+a_1^2=1\cdot1+1^2=2,$$\displaystyle a_1^2+1=1^2+1=2$이므로, $\displaystyle a_1a_3=a_1^2+1$이 성립한다.$\displaystyle n=k-1$일 때 성립한다고 가정하자. 그러면$\displaystyle \begin{aligned}a_{2k-1}\cdot a_{2k+1}&=a_{2k-1}\cdot(a_{2k}+a_{2k-1})\\&=a_{2k-1}\cdot a_{2k}+(a_{2k-3}+a_{2k-2})\cdot a_{2k-1}\\&=a_{2k-1}\cdot a_{2k}+a_{2k-3}\cdot a_{2k-1}+a_{2k-2}\cdot a_{2k-1}\\&=a_{2k-1}\cdot a_{2k}+a_{2k-2}^2+1+a_{2k-2}\cdot a_{2k-1}\\&=a_{2k-1}\cdot a_{2k}+a_{2k-2}\cdot(a_{2k-2}+a_{2k-1})+1\\&=a_{2k-1}\cdot a_{2k}+a_{2k-2}\cdot a_{2k+1}\\&=(a_{2k-1}+a_{2k-2})\cdot a_{2k+1}\\&=a_{2k}^2+1\end{aligned}$Correction. 앞줄의 $\displaystyle a_{2k-2}+a_{2k-1}$은 $\displaystyle a_{2k}$이므로 마지막 세 줄은 $\displaystyle a_{2k-1}a_{2k}+a_{2k-2}a_{2k}+1=(a_{2k-1}+a_{2k-2})a_{2k}+1=a_{2k}^2+1$로 이어져야 한다. 원문에는 첨자 $\displaystyle 2k+1$이 들어가고 상수항 $\displaystyle +1$이 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{2n-1}a_{2n+1}=a_{2n}^2+1$이 성립한다.

(2) 함수 $\displaystyle f$는 임의의 실수 $\displaystyle x,y\in(-\frac\pi2,\frac\pi2)$에 대하여$\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)\cdot f(y)}$이 성립하므로, 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}f\left(f^{-1}\left(\frac1{a_{2n+1}}\right)+f^{-1}\left(\frac1{a_{2n+2}}\right)\right)&=\frac{\frac1{a_{2n+1}}+\frac1{a_{2n+2}}}{1-\frac1{a_{2n+1}}\cdot\frac1{a_{2n+2}}}=\frac{a_{2n+1}+a_{2n+2}}{a_{2n+1}\cdot a_{2n+2}-1}\\&=\frac{a_{2n+1}+a_{2n+2}}{a_{2n+1}\cdot(a_{2n+3}-a_{2n+1})-1}\\&=\frac{a_{2n+1}+a_{2n+2}}{a_{2n+1}\cdot a_{2n+3}-a_{2n+1}^2-1}\\&=\frac{a_{2n+1}+a_{2n+2}}{a_{2n+2}^2+1-a_{2n+1}^2-1}\\&=\frac{a_{2n+1}+a_{2n+2}}{(a_{2n+2}+a_{2n+1})\cdot(a_{2n+2}-a_{2n-1})}\\&=\frac1{a_{2n+2}-a_{2n-1}}=\frac1{a_{2n}}\end{aligned}$Correction. 뺄셈에 쓴 $\displaystyle a_{2n-1}$은 $\displaystyle a_{2n+1}$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.