의예과 1번

(1) 접선의 접점의 $\displaystyle x$좌표값을 $\displaystyle m$이라 하면 $\displaystyle c=f^{\prime}(m)$이고 $\displaystyle d=f(m)-f^{\prime}(m)m$.함수 $\displaystyle g(x)$를 $\displaystyle g(x)=f(x)-cx-d$ 라 두자. 그러면 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)<0$. 따라서 $\displaystyle g^{\prime}(x)$는 감소함수.또한 $\displaystyle g^{\prime}(m)=f^{\prime}(m)-c=0$ 이므로 $\displaystyle g(x)$의 증감표는 다음과 같다.

그러므로 $\displaystyle g(x)\le0$ 즉 $\displaystyle f(x)\le cx+d$.

(2) $\displaystyle m=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$이라 두면 $\displaystyle (m,f(m))$에서의 접선의 방정식 $\displaystyle y=cx+d$ 은$\displaystyle c=f^{\prime}(m),\quad d=f(m)-f^{\prime}(m)m$으로 주어진다. 구간에 속하는 모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f(x)\le cx+d$ 이므로$\displaystyle \begin{cases} f(a_{1})\le ca_{1}+d \\ f(a_{2})\le ca_{2}+d \\ \quad\cdots \\ f(a_{n})\le ca_{n}+d \end{cases}$

그런데, $\displaystyle (ca_{1}+d)+(ca_{2}+d)+\cdots+(ca_{n}+d)=c(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})+nd=nf(m)$.따라서 $\displaystyle \frac{1}{n}\left(f(a_{1})+f(a_{2})+\cdots+f(a_{n})\right)\le f\!\left(\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\right)$.

이 부등식에서 등식이 성립하기 위해서는 $\displaystyle f(a_{i})=ca_{i}+d$ 가 모든 $\displaystyle i=1,2,\ldots,n$에 대해 성립해야 하는데,위 (1)의 논의를 다시 살펴보면, 등식이 성립하는 경우는 $\displaystyle x=m$ 인 경우 뿐이므로, 모든 $\displaystyle i$ 에 대해 $\displaystyle a_{i}=m$인 경우 뿐이다.이것은 $\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}$과 동치. 즉 등식이 성립하는 경우는 $\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}$일 때 뿐이다.

(3) $\displaystyle f(x)=\ln x$ 라 두면 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 정의되고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}$, $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}}<0$ 을 만족한다.따라서 위 (2)에 의해$\displaystyle \ln\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\ge\frac{1}{n}\left(\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots+\ln a_{n}\right)$

그런데 $\displaystyle \frac{1}{n}(\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots+\ln a_{n})=\ln\left(a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\right)^{\frac{1}{n}}$이고 함수 $\displaystyle \ln$ 은 증가함수이므로$\displaystyle \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\ge\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}.$또한 위 (2)에 의해 등식이 성립하는 경우는 $\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}$일 때 뿐이다.