의예과 2번

(1) 먼저 직선 $\displaystyle L_\phi(0)$은 점 $\displaystyle \boldsymbol a=(1,0,0)$를 지나고 벡터 $\displaystyle (0,\cos(\phi),\sin(\phi))$에 평행하므로, $\displaystyle L_\phi(0)$의 벡터방정식을 임의의 실수 $\displaystyle t$에 대해 다음과 같이 성분으로 나타낼 수 있다.$\displaystyle \begin{cases}x=1,\\y=t\cos(\phi)\\z=t\sin(\phi)\end{cases}$$\displaystyle xy$-평면 위의 점 $\displaystyle (1,t\cos(\phi))$를 $\displaystyle z$-축을 중심으로 $\displaystyle \theta$만큼 회전하여 옮겨진 점은$\displaystyle (\cos(\theta)-t\sin(\theta)\cos(\phi),\ \sin(\theta)+t\cos(\theta)\cos(\phi))$이므로 직선 $\displaystyle L_\phi(\theta)$의 벡터방정식을 성분으로 나타내면$\displaystyle \begin{cases}x=\cos(\theta)-t\sin(\theta)\cos(\phi)\\y=\sin(\theta)+t\cos(\theta)\cos(\phi)\\z=t\sin(\phi)\end{cases}$가 된다.

(2) 직선 $\displaystyle L_\phi(\theta)$에 대한 위 방정식으로부터 $\displaystyle \theta$와 $\displaystyle t$를 소거하면$\displaystyle x^2+y^2=1+z^2\cot^2(\phi)$이고, 곡면 $\displaystyle S_\phi$ 상의 임의의 점 $\displaystyle (x,y,z)$는 위의 방정식을 만족한다. 이 곡면을 $\displaystyle z$-축을 포함하는 임의의 평면으로 잘라서 생긴 곡선의 모양은 일정하므로, 특히 $\displaystyle xz$-평면으로 자르면, 곡선의 임의의 점 $\displaystyle (x,0,z)$는$\displaystyle x^2-z^2\cot^2(\phi)=1$를 만족하고 이는 $\displaystyle \cot^2(\phi)\ne0$이면 $\displaystyle xz$-평면 위의 쌍곡선의 방정식이다. 따라서 구하는 곡선은 $\displaystyle 0<\phi<\pi$인 $\displaystyle \phi$에 대해, $\displaystyle \phi\ne\frac\pi2$이면 쌍곡선이고, $\displaystyle \phi=\frac\pi2$이면 원기둥 안의 마주보는 두 직선이다.

(3) 곡면 $\displaystyle S_{\phi_1}$과 $\displaystyle S_{\phi_2}$가 동일하다면 $\displaystyle \phi_1$과 $\displaystyle \phi_2$는 위에서 구한 쌍곡선의 방정식으로부터$\displaystyle \cot^2(\phi_1)=\cot^2(\phi_2)$를 만족해야 한다. 따라서 두 곡면이 동일할 조건은 $\displaystyle \phi_1+\phi_2=\pi$이다.