자연계열 1번

(가) 주어진 두 개의 0 아닌 실 계수 다항식 $\displaystyle p(x)$, $\displaystyle s(x)$에 대하여$\displaystyle p(x)=q(x)s(x)+r(x)$를 만족하는 실 계수 다항식 $\displaystyle q(x), r(x)$가 존재한다. 단, $\displaystyle r(x)=0$이거나 $\displaystyle r(x)$의 차수는 $\displaystyle g(x)$의 차수보다 작다. 이 때, $\displaystyle r(x)=0$이면 $\displaystyle s(x)$는 $\displaystyle p(x)$의 약수라 부르고, $\displaystyle p(x)$는 $\displaystyle s(x)$의 배수라 부른다.Correction. 나누는 다항식의 이름 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle s(x)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(나) 행렬 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$는$\displaystyle \begin{aligned}A^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33})A^2&+(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}+a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}+a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31})A\\&+(a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{13}a_{31}a_{22}-a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32})E=O\end{aligned}$을 만족하고, 이를 케일리-해밀턴 정리라 한다. 단, $\displaystyle E=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},$ $\displaystyle O=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$.

(다) 실 계수 다항식 $\displaystyle p(x)=a_{n} x^{n} + \cdots +a_{1} x+a_{0}$와 $\displaystyle 3 \times 3$ 행렬 $\displaystyle A$에 대해,$\displaystyle p(A)=a_{n} A^{n} + \cdots +a_{1} A+a_{0} E$로 정의한다. 이 때, $\displaystyle p(A)=O$이 되는 다항식 $\displaystyle p(x)$중 차수가 가장 낮고 최고차항의 계수가 1인다항식을 $\displaystyle A$의 최소다항식이라 한다.