자연계열 1번

(1) 행렬 $\displaystyle A$의 최소다항식을 $\displaystyle m(x)$라 하면$\displaystyle p(x)=q(x)m(x)+r(x)$를 만족하는 실 계수 다항식 $\displaystyle q(x), r(x)$가 존재한다. 단, $\displaystyle r(x)=0$ 이거나 $\displaystyle r(x)$의 차수는 $\displaystyle m(x)$의 차수보다 작다. 따라서$\displaystyle O=p(A)=q(A)m(A)+r(A)=r(A).$결국, 최소다항식의 정의에 의해 $\displaystyle r(x)=0$이어야 한다.

(2) 문제 (1)과 제시문 (나)로부터 행렬 $\displaystyle A$의 최소다항식은$\displaystyle x^{3} -4x^{2} +5x+2=(x-1)^{2} (x-2)$Correction. 전개식의 상수항 $\displaystyle +2$는 $\displaystyle -2$의 오기이다. $\displaystyle (x-1)^2(x-2)=x^3-4x^2+5x-2$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.의 약수임을 알 수 있다. 또한, 간단한 계산을 통해$\displaystyle A-I \ne O, A-2I \ne O, (A-I)(A-2I)=O$임을 알 수 있다. 따라서, 행렬 $\displaystyle A$의 최소다항식은 $\displaystyle (x-1)(x-2)=x^{2} -3x+2$ 이다.