자연계열 2번

1) 기주가 얻은 식은 구와 평면의 공통부분에 놓인 점의 $\displaystyle x$좌표와 $\displaystyle y$좌표가 만족하는 식이므로 공통부분을 $\displaystyle xy$-평면에 정사영한 도형이 만족하는 식이 된다.

2) 세 점 $\displaystyle (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$을 지나는 평면의 방정식은 $\displaystyle x+y+z=1$로 주어진다. 이 평면과 $\displaystyle xy$-평면이 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 놓으면, $\displaystyle \cos\theta$의 값은 $\displaystyle \frac1{\sqrt3}$이 된다. 한편 평면 $\displaystyle x+y+z=1$과 공의 공통부분은 중심이 $\displaystyle (\frac13,\frac13,\frac13)$이고 반지름이 $\displaystyle \frac{\sqrt6}3$인 원의 테두리와 내부영역이 된다. 따라서 이 영역을 $\displaystyle xy$-평면에 정사영시킨 부분은 타원이 되며, 이 타원의 면적은 원의 넓이와 $\displaystyle \cos\theta$의 곱이 되므로 $\displaystyle \frac{2\sqrt3}9\pi$가 된다.