자연계열 1번

문항(1). (40점)명제 1) → 명제 2)적분과 넓이의 관계에 의하여, $\displaystyle n>1$이면 $\displaystyle A_n<\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$이다.가정에 의하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty f(k)=M$이라하자.적분과 넓이의 관계에 의하여, $\displaystyle A_n<A_{n+1}$이며 $\displaystyle A_n<M$이다.따라서 수열 $\displaystyle \{A_n\}$은 수렴한다.

명제 2) → 명제 1)적분과 넓이의 관계에 의하여, $\displaystyle n>1$이면 $\displaystyle A_n>\sum_{k=2}^nf(k)$이다.가정에 의하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n=M$이라하자.적분과 넓이의 관계에 의하여, $\displaystyle \sum_{k=2}^nf(k)<\sum_{k=2}^{n+1}f(k)$이며 $\displaystyle \sum_{k=2}^nf(k)<M$이다.따라서 수열 $\displaystyle \{\sum_{k=1}^nf(k)\}$는 수렴한다.

문항(2). (60점)$\displaystyle B_n=\sum_{k=2}^n\frac1{(k+2)(\ln(k+1))^2}$이고 $\displaystyle C_n=\sum_{k=2}^n\frac1{(k+1)(\ln(k+1))^2}$라 하자.$\displaystyle k+2>k+1$이므로 $\displaystyle B_n<C_n$이다.

그리고 $\displaystyle C_n<D_n=\int_1^n\frac1{(x+1)(\ln(x+1))^2}\,dx$이므로수열 $\displaystyle \{D_n\}$이 수렴함을 보이면 충분하다.

$\displaystyle z=\ln(x+1)$이라 두면 $\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac1{x+1}$이므로$\displaystyle D_n=\int_{\ln2}^{\ln(n+1)}\frac1{z^2}\,dz=-\frac1z\Big|_{z=\ln2}^{z=\ln(n+1)}=\frac1{\ln2}-\frac1{\ln(n+1)}$이다.

$\displaystyle B_n<B_{n+1}$이고 $\displaystyle B_n<\frac1{\ln2}$이므로 수열 $\displaystyle \{B_n\}$은 수렴한다.따라서 무한급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\frac1{(k+2)(\ln(k+1))^2}$이 수렴한다.