세 개의 수열 중 무한 수열 {an}n=1∞에 대해서 일반항을 구하여 보면 다음과 같다.a1=0, a2=3, aman=an+m−1+an−m+1를 만족하는 수열의 일반항 an은m=2을 aman=an+m−1+an−m+1에 대입하면 a2an=an+1+an−1이 되고a2=3가 주어졌으므로 an+1=3an−an−1이다.따라서 an+1=3an−an−1, 모든 n≥2 -------------------------------- ①이고 m=1,n=2를 대입하면 a1a2=a2+a2=2a2이므로 a1=2이다. ------ ②세 개의 수열을 계산해 보면
nanbncn1212231137234183454757612381173221318884321299220734471057785576111512789123123960314419913103682233322
+40점 · 문항(1). 증명문항(1). (증명 : 전체 40점)(1) 모든 자연수 m≥2,n에 대하여 무한수열 {bn}은 관계식 bm+n=bn+1bm+bnbm−1이 성립함을 보이시오.bm+n=bn+1bm+bnbm−1을 모든 m≥2에 대해 수학적 귀납법에 의하여 증명하여 보면m=2인 경우 모든 n에 대하여 bn+2=bn+1b2+bnb1=bn+1⋅1+bn⋅1=bn+1+bn이므로성립한다.임의의 k(3≤k≤m−1)와 모든 n에 대하여 bk+n=bn+1bk+bnbk−1이 성립한다고 가정하면,bm−1+n=bn+1bm−1+bnbm−2 -------------- (*)이므로 주어진 수열 {bn}의 관계식 bm+n=bn+m−1+bn+m−2으로부터bm+n=bn+m−1+bn+m−2=bn+1bm−1+bnbm−2+bn+1bm−2+bnbm−3((*)을 이용)=bn+1(bm−1+bm−2)+bn(bm−2+bm−3)=bn+1bm+bnbm−1
+20점 · 일반항 관계식과 초항문항(2). 모든 자연수 n에 대하여 두 무한수열 {an}과 {cn}의 관계식은 an=c2n−1임을 보이시오.[20점]①에서의 수열 an의 일반항 관계식 an+1=3an−an−1과②에서의 초항 a1=2를 구하여야 다음의 증명을 완성할 수 있다.
+40점 · 문항(2). 증명[증명 : 40점]수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 n에 대해 관계식 an=c2n−1을 증명하여 보면n=1: a1=2=c1임의의 k(2≤k≤n−1)에서 ak=c2k−1이 성립된다고 가정하면, an−1=c2n−3이므로an=3an−1−an−2=3c2n−3−c2n−5=3(c2n−4+c2n−5)−c2n−5=3c2n−4+2c2n−5=2c2n−3+c2n−4=c2n−2+c2n−3=c2n−1
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수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.