자연계열 2번

문항(1) (30점) 제시문의 조건 $\displaystyle f(a-x)=f(x),\ g(x)+g(a-x)=k$로부터$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^af(x)g(x)\,dx&=\int_0^af(x)(k-g(a-x))\,dx\\&=k\int_0^af(x)\,dx-\int_0^af(x)g(a-x)\,dx\\&=k\int_0^af(x)\,dx-\int_a^0f(a-t)g(t)(-dt)\\&=k\int_0^af(x)\,dx-\int_0^af(a-t)g(t)\,dt\\&=k\int_0^af(x)\,dx-\int_0^af(x)g(x)\,dx\end{aligned}$임을 알 수 있다.따라서, $\displaystyle \int_0^af(x)g(x)\,dx=\frac12k\int_0^af(x)\,dx$이다.

문항(2). (70점)$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos^2x},\ g(x)=x$라 하면, $\displaystyle f(x),g(x)$는 폐구간 $\displaystyle [0,\pi]$에서 연속함수이고, 폐구간 $\displaystyle [0,\pi]$의 임의의 원소 $\displaystyle x$에 대하여,$\displaystyle f(\pi-x)=\frac{\sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)}=\frac{\sin x}{1+\cos^2x}=f(x),\quad g(x)+g(\pi-x)=x+(\pi-x)=\pi$를 만족한다.

(1)번의 결과로부터$\displaystyle \int_0^\pi\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}\,dx=\frac\pi2\int_0^\pi\frac{\sin x}{1+\cos^2x}\,dx$이고, $\displaystyle t=\cos x$로 치환하면,$\displaystyle \frac\pi2\int_0^\pi\frac{\sin x}{1+\cos^2x}\,dx=\frac\pi2\int_1^{-1}\frac{-1}{1+t^2}\,dt=\frac\pi2\int_{-1}^1\frac1{1+t^2}\,dt$이고, 다시 $\displaystyle t=\tan\theta$로 치환하면,$\displaystyle \frac\pi2\int_{-1}^1\frac1{1+t^2}\,dt=\frac\pi2\int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}\frac{\sec^2\theta}{1+\tan^2\theta}\,d\theta=\frac\pi2\int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}1\,d\theta=\frac\pi2\cdot\frac\pi2=\frac{\pi^2}4$.