한양대 서울캠퍼스 2013학년도 모의 2차 1회 자연계열 1번 해설

<논술 1> 다음 제시문을 읽고 문제에 답하시오.

<가> (한 점에서 함수의 연속의 정의) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 다음 세 조건을 모두 만족할 때, 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이라고 한다.(1) 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 정의되어 있다.(2) 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재한다.(3) $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ (구간에서 함수의 연속의 정의) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 어떤 구간에 속하는 모든 점에서 연속일 때, 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 그 구간에서 연속이라고 한다.

<나> (중간값의 정리) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 $\displaystyle f(a)\ne f(b)$ 이면 $\displaystyle f(a)$ 와 $\displaystyle f(b)$ 사이의 임의의 실수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle f(c)=k$ 를 만족하는 $\displaystyle c$ 가 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 사이에 적어도 하나 존재한다.

<다> (미분계수의 정의) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle a$ 를 포함하는 어떤 열린 구간에서 정의되어 있고 극한값 $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h$ 이 존재하면 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하다고 한다. 이 극한값을 $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle a$ 에서의 미분계수라 하고, 기호 $\displaystyle f'(a)$ 로 나타낸다.(도함수의 정의) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 미분가능한 점 $\displaystyle x$ 들의 집합을 정의역으로 하고, 정의역에 속하는 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle x$ 에서의 미분계수를 대응시키는 함수를 $\displaystyle f(x)$ 의 도함수라 하고, 기호 $\displaystyle f'(x)$ 로 나타낸다.

함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음과 같이 실수 전체에서 정의되어 있다. $\displaystyle f(x)=\begin{cases}x\sin\frac1x&(x\ne0)\\0&(x=0)\end{cases}$

(1) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=0$ 에서 연속인지 여부에 대하여 논하시오.

(2) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=0$ 에서 미분가능한지 여부에 대하여 논하시오.

(3) 등식 $\displaystyle f'(x)=3$ 을 만족하는 $\displaystyle x$ 가 얼마나 많이 있는가에 대하여 논하시오.

한양대 서울캠퍼스 2013학년도 모의 2차 1회 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2013mo_2_1/jayeon_1

+20점 · 문항1.

문항1. (20점)답안: 먼저 $\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0$ 이다. 왜냐하면, $\displaystyle -1\le\sin\frac1x\le1$ 이므로 $\displaystyle -|x|\le x\sin\frac1x\le|x|$ .따라서, $\displaystyle 0=-\lim_{x\to0}|x|\le\lim_{x\to0}x\sin\frac1x\le\lim_{x\to0}|x|=0$ . 그런데 $\displaystyle f(0)=0$ 이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=f(0)$ . 따라서 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=0$ 에서 연속하다.

+20점 · 문항2.

문항2. (20점)답안: $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}h=\lim_{h\to0}\sin\frac1h$ . 그런데 $\displaystyle \sin\frac1h$ 은 $\displaystyle h\to0$ 일 때 $\displaystyle -1$ 과 1사이에서 진동하므로 $\displaystyle \lim_{h\to0}\sin\frac1h$ 은 존재하지 않는다. 따라서 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=0$ 에서 미분가능하지 않다.

+60점 · 문항3.

문항3. (60점)답안: $\displaystyle x\ne0$ 일 때, $\displaystyle f'(x)=\sin\frac1x-\frac1x\cos\frac1x$ . 그러므로, $\displaystyle f'(x)$ 은 0을 제외한 실수 전체에서 정의되고 정의역에서 연속인 함수. $\displaystyle n$ 을 양의 정수라 하자. 구간 $\displaystyle [\frac1{2n\pi},\frac1{(2n-1)\pi}]$ 은 0을 포함하지 않으므로 이 구간에서 $\displaystyle f'(x)$ 는 연속이다. 그런데, $\displaystyle f'(\frac1{n\pi})=\sin(n\pi)-n\pi\cos(n\pi)=-(-1)^nn\pi$ 이다. $\displaystyle n\ge1$ 이므로 $\displaystyle f'(\frac1{2n\pi})=-2n\pi<0$ 이고 $\displaystyle f'(\frac1{(2n-1)\pi})=(2n-1)\pi>3$ .따라서 중간값의 정리에 의해 구간 $\displaystyle [\frac1{2n\pi},\frac1{(2n-1)\pi}]$ 안에 $\displaystyle f'(x)=3$ 을 만족하는 $\displaystyle x$ 가 존재한다.이들 구간은 서로 만나지 않으므로 $\displaystyle f'(x)=3$ 을 만족하는 $\displaystyle x$ 는 무한히 많이 있다.

감점사례: 설명없이 $\displaystyle \lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0$ 라고 한 경우 5점 감점.

감점사례: $\displaystyle f'(x)=3$ 의 해가 무한히 많다는 결론에 도달하였으나, 그래프 등을 통해 알게된 함수 $\displaystyle f'(x)$ 의 성질을 이용한 경우, $\displaystyle f'(a)>3$ 이 되는 $\displaystyle a$ 들과 $\displaystyle f'(b)<3$ 이 되는 $\displaystyle b$ 들에 대한 구체적인 언급이 없으면 정도에 따라 10-20점 감점.

다음 경우는 0점 처리됩니다.1) 답안을 검정 볼펜으로 작성하지 않은 경우2) 자신의 신원을 드러내는 표기나 표현을 한 경우3) 수정액이나 수정테이프를 사용한 경우4) 답안을 해당 답란에 작성하지 않은 경우

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

자연계열 1번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개