자연계열 1번

문항1. (20점)답안: 먼저 $\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0$이다. 왜냐하면, $\displaystyle -1\le\sin\frac1x\le1$이므로 $\displaystyle -|x|\le x\sin\frac1x\le|x|$.따라서, $\displaystyle 0=-\lim_{x\to0}|x|\le\lim_{x\to0}x\sin\frac1x\le\lim_{x\to0}|x|=0$. 그런데 $\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=f(0)$. 따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 연속하다.

문항2. (20점)답안: $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}h=\lim_{h\to0}\sin\frac1h$. 그런데 $\displaystyle \sin\frac1h$은 $\displaystyle h\to0$일 때 $\displaystyle -1$과 1사이에서 진동하므로 $\displaystyle \lim_{h\to0}\sin\frac1h$은 존재하지 않는다. 따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하지 않다.

문항3. (60점)답안: $\displaystyle x\ne0$일 때, $\displaystyle f'(x)=\sin\frac1x-\frac1x\cos\frac1x$. 그러므로, $\displaystyle f'(x)$은 0을 제외한 실수 전체에서 정의되고 정의역에서 연속인 함수. $\displaystyle n$을 양의 정수라 하자. 구간 $\displaystyle [\frac1{2n\pi},\frac1{(2n-1)\pi}]$은 0을 포함하지 않으므로 이 구간에서 $\displaystyle f'(x)$는 연속이다. 그런데,$\displaystyle f'(\frac1{n\pi})=\sin(n\pi)-n\pi\cos(n\pi)=-(-1)^nn\pi$이다. $\displaystyle n\ge1$이므로 $\displaystyle f'(\frac1{2n\pi})=-2n\pi<0$이고$\displaystyle f'(\frac1{(2n-1)\pi})=(2n-1)\pi>3$.따라서 중간값의 정리에 의해 구간 $\displaystyle [\frac1{2n\pi},\frac1{(2n-1)\pi}]$ 안에 $\displaystyle f'(x)=3$을 만족하는 $\displaystyle x$가 존재한다.이들 구간은 서로 만나지 않으므로 $\displaystyle f'(x)=3$을 만족하는 $\displaystyle x$는 무한히 많이 있다.