자연계열 1번

문항1. (40점)답안: (존재성) $\displaystyle \alpha$를 $\displaystyle p+q\sqrt5$라고 놓자. $\displaystyle (\alpha-p)^2=5q^2$이므로 $\displaystyle \alpha^2-2p\alpha+(p^2-5q^2)=0$을 얻는다. 이 때 유리수 $\displaystyle 2p$와 $\displaystyle p^2-5q^2$의 분모들의 최대공약수를 $\displaystyle \alpha^2-2p\alpha+(p^2-5q^2)=0$의 양변에 곱하면 정수 계수 등식을 얻고, 이 정수계수들의 최대공약수로 양변을 나누어 주면 제시문 <나>의 세 조건을 만족하는 순서쌍을 얻게 된다.Correction. 분모를 없애기 위해 곱하는 “최대공약수”는 “공배수”의 오기이다. 최소공배수를 곱하면 정수 계수를 얻는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(유일성) 순서쌍 $\displaystyle (a,b,c)$와 $\displaystyle (a',b',c')$이 각각 제시문 <나>의 세 조건을 만족한다고 하자. 방정식 $\displaystyle ax^2+bx+c=0$의 두 근이 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \alpha'$임을 착안하면,$\displaystyle \left(x^2+\frac bax+\frac ca\right)=(x-\alpha)(x-\alpha')=\left(x^2+\frac{b'}{a'}x+\frac{c'}{a'}\right)$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle \frac ba=\frac{b'}{a'},\ \frac ca=\frac{c'}{a'}$이 성립하고 이로부터 $\displaystyle b'=\frac{a'}ab,\ c'=\frac{a'}ac$이 된다. 만약 $\displaystyle a'$이 $\displaystyle a$와 같지 않다면 $\displaystyle a$의 소인수이면서 $\displaystyle a'$의 소인수가 아닌 소수 $\displaystyle p$가 존재하게 된다. 그러면 $\displaystyle b'=\frac{a'}ab$로부터 $\displaystyle b$는 $\displaystyle p$의 배수가 되고, $\displaystyle c'=\frac{a'}ac$로부터 $\displaystyle c$도 $\displaystyle p$의 배수가 되므로 세 정수 $\displaystyle a,b,c$의 공통약수가 1과 $\displaystyle -1$밖에 없다라는 조건에 위배된다.Caution. $\displaystyle a=4$, $\displaystyle a^{\prime}=2$처럼 서로 다른 정수도 같은 소인수만을 가질 수 있다. $\displaystyle \frac{a^{\prime}}a=\frac uv$를 기약분수로 두면 $\displaystyle b^{\prime}=\frac uvb$, $\displaystyle c^{\prime}=\frac uvc$의 정수성에서 $\displaystyle v\mid a,b,c$이다. 양쪽 계수의 공약수 조건을 적용하면 $\displaystyle v=u=1$을 얻는다.따라서 $\displaystyle a=a'$이 되어야 하므로, $\displaystyle b'=\frac{a'}ab$로부터 $\displaystyle b=b',\ c'=\frac{a'}ac$로부터 $\displaystyle c=c'$을 얻게 된다.

문항2. (30점)답안: 집합 $\displaystyle T$의 원소 $\displaystyle \alpha$에 대응하는 순서쌍 $\displaystyle (a,b,c)$는 $\displaystyle b^2-4ac=5$를 만족한다. 이 때 정수 $\displaystyle b$는 반드시 홀수이어야 하므로 $\displaystyle b=2k+1$로 두면, $\displaystyle ac=k^2+k-1$이 된다. 이제 $\displaystyle a=1,\ c=k^2+k-1$로 택하자.

$\displaystyle k$는 임의의 정수이므로 무수히 많은 순서쌍 $\displaystyle (a,b,c)=(1,2k+1,k^2+k-1)$에 대응하여 집합 $\displaystyle T$의 원소를 무수히 많이 얻을 수 있게 된다.

문항3. (30점)답안: 집합 $\displaystyle R$의 원소 $\displaystyle \alpha$에 대응하는 순서쌍 $\displaystyle (a,b,c)$를 생각하자. 주어진 조건으로부터$\displaystyle \alpha=\frac{-b+\sqrt5}{2a}>1,\ -1<\alpha'=\frac{-b-\sqrt5}{2a}<0$을 얻는다. 부등식 $\displaystyle -b+\sqrt5>2a>b+\sqrt5$로부터 $\displaystyle b$는 반드시 음수이어야 하고, $\displaystyle -b-\sqrt5<0$으로부터 $\displaystyle 0<-b<\sqrt5$를 얻는다.

또한 $\displaystyle b^2-4ac=5$이므로 $\displaystyle c=\frac{b^2-5}{4a}$가 되어 가능한 순서쌍의 개수가 유한하므로 집합 $\displaystyle R$의 원소의 개수도 유한하게 된다.