자연계열 2번

문항1. (50점)답안: 자연수 $\displaystyle n\ge2$에 대하여 관계식 $\displaystyle V_{n+1}=AV_n$으로부터 다음 관계식을 얻는다.① -------- $\displaystyle \begin{cases}\alpha_{n+1}=(2k-3)\alpha_n+\beta_n+\gamma_n\\\beta_{n+1}=\beta_n+(2k-2)\alpha_n\\\gamma_{n+1}=\gamma_n+(2k-2)\alpha_n\end{cases}$

위의 식 ①로부터② -------- $\displaystyle \beta_{n+1}-\gamma_{n+1}=\beta_n-\gamma_n$임을 알 수 있다.

그런데, $\displaystyle V_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$로부터 $\displaystyle \beta_2=1,\ \gamma_2=0$임을 알 수 있고, 따라서 $\displaystyle \beta_2-\gamma_2=1$임을 얻는다. 다시 위의 식 ②로부터 $\displaystyle \beta_n=1+\gamma_n$임을 알 수 있다. 다시, 관계식 ①에서$\displaystyle \alpha_{n+1}-\gamma_{n+1}=\beta_n-\alpha_n=1+(\gamma_n-\alpha_n)$을 얻는다. 식 $\displaystyle \alpha_2-\gamma_2=1$으로부터 관계식$\displaystyle \alpha_n=\gamma_n+\frac{1+(-1)^n}2$을 유도할 수 있다.

문항2. (50점)답안: 문항 (1)의 결과로 부터 $\displaystyle |\alpha_n-\gamma_n|\le1$과 $\displaystyle |\alpha_n-\beta_n|\le2$을 얻는다.

가정에서 주어진 식 $\displaystyle (2k-2)\alpha_n+\beta_n+\gamma_n=(2k-1)^{n-1}$으로부터, 다음 부등식을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}|2k\alpha_n-(2k-1)^{n-1}|&\le|(2k-2)\alpha_n+\beta_n+\gamma_n-(2k-1)^{n-1}|+|\alpha_n-\beta_n|+|\alpha_n-\gamma_n|\\&\le3\end{aligned}$위의 부등식에서 양변을 $\displaystyle 2k$로 나누면, $\displaystyle \left|\alpha_n-\frac{(2k-1)^{n-1}}{2k}\right|\le\frac3{2k}$이 성립한다.