수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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한양대 서울캠퍼스 2013학년도 모의 2차 2회 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2013mo_2_2/jayeon_2

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<논술 2> 다음 제시문을 읽고 문제에 답하시오.

<가> 자연수 m,n\displaystyle m,n에 대하여 mn\displaystyle mn개의 실수를 다음과 같이 m\displaystyle m개의 행과 n\displaystyle n개의 열로 다음과 같이 나열한 것을 m×n\displaystyle m\times n 행렬이라고 한다.A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn)\displaystyle A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}여기서 aij\displaystyle a_{ij}를 행렬 A\displaystyle A의 (i,j)\displaystyle (i,j)성분이라 한다. A\displaystyle A를 간단히 [aij]m×n\displaystyle [a_{ij}]_{m\times n}으로 표시한다.

<나> 두 m×n\displaystyle m\times n 행렬 A=[aij]m×n\displaystyle A=[a_{ij}]_{m\times n}와 B=[bij]m×n\displaystyle B=[b_{ij}]_{m\times n}가 주어졌다고 하자. 만일 모든 i,j\displaystyle i,j (1≤i≤m,1≤j≤n)\displaystyle (1\le i\le m,1\le j\le n)에 대하여 aij=bij\displaystyle a_{ij}=b_{ij}일 때, 두 행렬 A\displaystyle A와 B\displaystyle B는 같다고 하고 A=B\displaystyle A=B로 나타낸다.

<다> m×n\displaystyle m\times n 행렬 A=[aij]m×n\displaystyle A=[a_{ij}]_{m\times n}와 n×r\displaystyle n\times r 행렬 B=[bjk]n×r\displaystyle B=[b_{jk}]_{n\times r}의 곱 AB\displaystyle AB를 다음과 같이 정의한다.AB=[cik]m×r\displaystyle AB=[c_{ik}]_{m\times r}단, cik=∑j=1naijbjk\displaystyle c_{ik}=\sum_{j=1}^na_{ij}b_{jk}이다.

k\displaystyle k는 2보다 큰 자연수이고,V2=(110),Vn=(αnβnγn) (n≥3),A=(2k−3112k−2102k−201)\displaystyle V_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\quad V_n=\begin{pmatrix}\alpha_n\\\beta_n\\\gamma_n\end{pmatrix}\ (n\ge3),\quad A=\begin{pmatrix}2k-3&1&1\\2k-2&1&0\\2k-2&0&1\end{pmatrix}이다.자연수 n≥2\displaystyle n\ge2에 대하여 Vn+1\displaystyle V_{n+1}은 관계식 Vn+1=AVn\displaystyle V_{n+1}=AV_n에 의해 주어지고, 관계식(2k−2)αn+βn+γn=(2k−1)n−1\displaystyle (2k-2)\alpha_n+\beta_n+\gamma_n=(2k-1)^{n-1}이 만족한다고 가정하자.

(1) 자연수 n≥2\displaystyle n\ge2에 대하여 αn=γn+1+(−1)n2\displaystyle \alpha_n=\gamma_n+\frac{1+(-1)^n}2임을 보이시오.

(2) 2보다 큰 모든 자연수 n,k\displaystyle n,k에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오.∣αn−(2k−1)n−12k∣≤32k\displaystyle \left|\alpha_n-\frac{(2k-1)^{n-1}}{2k}\right|\le\frac3{2k}

해설강의 준비중

한양대 서울캠퍼스 2013학년도 모의 2차 2회 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2013mo_2_2/jayeon_2

+10점 · 행렬의 관계식으로부터 관계식 ①을 얻었는가?

문항1. (50점)답안: 자연수 n≥2\displaystyle n\ge2에 대하여 관계식 Vn+1=AVn\displaystyle V_{n+1}=AV_n으로부터 다음 관계식을 얻는다.① -------- {αn+1=(2k−3)αn+βn+γnβn+1=βn+(2k−2)αnγn+1=γn+(2k−2)αn\displaystyle \begin{cases}\alpha_{n+1}=(2k-3)\alpha_n+\beta_n+\gamma_n\\\beta_{n+1}=\beta_n+(2k-2)\alpha_n\\\gamma_{n+1}=\gamma_n+(2k-2)\alpha_n\end{cases}

+10점 · 관계식 ①로부터 관계식 ②를 이끌어냈는가?

위의 식 ①로부터② -------- βn+1−γn+1=βn−γn\displaystyle \beta_{n+1}-\gamma_{n+1}=\beta_n-\gamma_n임을 알 수 있다.

+30점 · 위에서 찾은 관계식을 활용하여, 문제에서 요구하는 등식을 찾았는가?

그런데, V2=(110)\displaystyle V_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}로부터 β2=1, γ2=0\displaystyle \beta_2=1,\ \gamma_2=0임을 알 수 있고, 따라서 β2−γ2=1\displaystyle \beta_2-\gamma_2=1임을 얻는다. 다시 위의 식 ②로부터 βn=1+γn\displaystyle \beta_n=1+\gamma_n임을 알 수 있다. 다시, 관계식 ①에서αn+1−γn+1=βn−αn=1+(γn−αn)\displaystyle \alpha_{n+1}-\gamma_{n+1}=\beta_n-\alpha_n=1+(\gamma_n-\alpha_n)을 얻는다. 식 α2−γ2=1\displaystyle \alpha_2-\gamma_2=1으로부터 관계식αn=γn+1+(−1)n2\displaystyle \alpha_n=\gamma_n+\frac{1+(-1)^n}2을 유도할 수 있다.

+20점 · 문항 (1)의 결과로 부터 ∣αn−γn∣≤1\displaystyle |\alpha_n-\gamma_n|\le1과 ∣αn−βn∣≤2\displaystyle |\alpha_n-\beta_n|\le2을 얻었는가?

문항2. (50점)답안: 문항 (1)의 결과로 부터 ∣αn−γn∣≤1\displaystyle |\alpha_n-\gamma_n|\le1과 ∣αn−βn∣≤2\displaystyle |\alpha_n-\beta_n|\le2을 얻는다.

+30점 · 가정에서 주어진 식으로부터 원하는 부등식을 찾았는가?

가정에서 주어진 식 (2k−2)αn+βn+γn=(2k−1)n−1\displaystyle (2k-2)\alpha_n+\beta_n+\gamma_n=(2k-1)^{n-1}으로부터, 다음 부등식을 얻는다.∣2kαn−(2k−1)n−1∣≤∣(2k−2)αn+βn+γn−(2k−1)n−1∣+∣αn−βn∣+∣αn−γn∣≤3\displaystyle \begin{aligned}|2k\alpha_n-(2k-1)^{n-1}|&\le|(2k-2)\alpha_n+\beta_n+\gamma_n-(2k-1)^{n-1}|+|\alpha_n-\beta_n|+|\alpha_n-\gamma_n|\\&\le3\end{aligned}위의 부등식에서 양변을 2k\displaystyle 2k로 나누면, ∣αn−(2k−1)n−12k∣≤32k\displaystyle \left|\alpha_n-\frac{(2k-1)^{n-1}}{2k}\right|\le\frac3{2k}이 성립한다.

다음 경우는 0점 처리됩니다.1) 답안을 검정 볼펜으로 작성하지 않은 경우2) 자신의 신원을 드러내는 표기나 표현을 한 경우3) 수정액이나 수정테이프를 사용한 경우4) 답안을 해당 답란에 작성하지 않은 경우

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