자연계열 1번

(1). 함수 $\displaystyle y=f(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하면,

$\displaystyle f^{\prime}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$가 존재하므로

$\displaystyle \lim_{x\to a}(f(x)-f(a))=\lim_{x\to a}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)\right)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot\lim_{x\to a}(x-a)=f^{\prime}(a)\cdot0=0$이고,

$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 연속이다.

(2). 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 연속이면, $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$이고,

$\displaystyle a_n=a+\frac1n$으로 두면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}f(a_n)$이 존재하고 그 극한값은 $\displaystyle f(a)$이다.

$\displaystyle a_n=a-\frac1n$으로 두면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}f(a_n)$이 존재하고 그 극한값은 $\displaystyle f(a)$이다.

따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 $\displaystyle S-$연속이다.

즉, 함수 $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle x=a$에서 연속성은 $\displaystyle S-$연속성을 의미한다.

(3). $\displaystyle a\ne0$인 경우 :

$\displaystyle x=a$에서 $\displaystyle \frac1x$는 미분가능하고 제시문 (다)에 의하여 $\displaystyle \sin\frac1x$도 미분가능하다.

미분의 성질에 의하여 $\displaystyle x^2\sin\frac1x$도 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하다. 미분가능성과 연속성의 관계에 의하여

$\displaystyle g(x)=x^2\sin\frac1x$는 $\displaystyle x=a$에서 연속이고 (2)에 의하여 $\displaystyle S-$연속이다.

$\displaystyle a=0$인 경우 :

$\displaystyle x\ne0$이면 $\displaystyle 0\le|x^2\sin\frac1x|\le x^2$이고, $\displaystyle \lim_{x\to0}x^2=0$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x=0=g(0)$이다.

$\displaystyle g(x)=x^2\sin\frac1x$는 $\displaystyle x=0$에서 연속이고 (2)에 의하여 $\displaystyle S-$연속이다.

(4). - $\displaystyle a>0$인 경우,

․ $\displaystyle a$가 유리수 :

$\displaystyle a_n=a+\frac1n$와 $\displaystyle c_n=a-\frac1n$는 유리수이고

$\displaystyle b_n=a+\frac{\sqrt2}n$와 $\displaystyle d_n=a-\frac{\sqrt2}n$는 무리수이다.

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}c_n=\lim_{n\to\infty}d_n=a$이고 충분히 큰 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle h(a_n)=h(c_n)=1, h(b_n)=h(d_n)=0$이다.

$\displaystyle a>0$인 유리수일 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}h(a_n)=\lim_{n\to\infty}h(c_n)=1=h(a)$이므로 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 $\displaystyle S-$연속이다.

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}h(b_n)=0\ne1=h(a)$이므로 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 연속이 아니다.

․ $\displaystyle a$가 무리수 :

$\displaystyle a_n=a+\frac1n$와 $\displaystyle c_n=a-\frac1n$는 무리수이고

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=a$이고 충분히 큰 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle h(a_n)=h(c_n)=0$이다.

$\displaystyle a>0$인 무리수일 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}h(a_n)=\lim_{n\to\infty}h(c_n)=0=h(a)$이므로 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 $\displaystyle S-$연속이다.

제시문 (라)에 의하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=a$인 양의 유리수인 수열 {$\displaystyle b_n$}이 존재한다.

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}h(b_n)=1\ne0=h(a)$이므로 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 연속이 아니다.

- $\displaystyle a=0$인 경우

$\displaystyle a_n=\frac1n$와 $\displaystyle c_n=-\frac1n$는 유리수이고

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=0$이고 $\displaystyle h(a_n)=1, h(c_n)=0$이다.

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}h(a_n)=1\ne0=\lim_{n\to\infty}h(c_n)$이므로 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 $\displaystyle S-$연속이 아니고, 연속도 아니다.

따라서 함수 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=a\ne0$에서 $\displaystyle S-$연속이지만 연속이 아니다.

그러므로 $\displaystyle x=a$에서 함수 $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle S-$연속성은 연속성을 의미하지는 않는다.