자연계열 1번

1. 행렬의 곱셈에 의하여 $\displaystyle a_n=2n$이다.$\displaystyle a_1=2\times1=2$가 성립하고 $\displaystyle a_k=2k$가 성립한다고 가정하면, 행렬의 곱셈에 의하여 $\displaystyle a_{k+1}=a_k+a_k=2k+2k=2(k+1)$이 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n=2n$이 성립한다.Correction. 귀납 단계의 식은 $\displaystyle a_{k+1}=a_k+a_1=2k+2=2(k+1)$이다. 두 번째 $\displaystyle a_k$와 $\displaystyle 2k$는 각각 $\displaystyle a_1$과 $\displaystyle 2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle c_n=\frac{2n}{2n+1}$이므로 $\displaystyle c_n=\frac{2n}{2n+1}<\frac{2(n+1)}{2(n+1)+1}=c_{n+1}$이 성립하고 $\displaystyle c=1$이다.

2. (감소수열)$\displaystyle b_1=2>b_2=\frac32$가 성립한다.$\displaystyle b_k>b_{k+1}$이 성립한다고 가정하자.$\displaystyle b_{k+2}=\frac{b_{k+1}+1}2<\frac{b_k+1}2=b_{k+1}$이 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 $\displaystyle b_n>b_{n+1}$이 성립한다.(일반항과 극한 구하기)$\displaystyle b_{n+1}-\alpha=\frac12(b_n-\alpha)$에서 $\displaystyle \alpha=1$이고 따라서$\displaystyle b_n=\frac1{2^{n-1}}+1$이다.$\displaystyle b=\lim_{n\to\infty}b_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{b_n+1}2=\frac{b+1}2$가 성립하므로 $\displaystyle b=1$이다.

3. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}f(c_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)^2}{(2n+1)^2}=1$이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}f(b_n)=\lim_{n\to\infty}b_n=b=1$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}f(c_n)=\lim_{n\to\infty}f(b_n)$이다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{f(c_n)-f(c)}{c_n-c}=\lim_{n\to\infty}\frac{c_n^2-1}{c_n-1}=\lim_{n\to\infty}(c_n+1)=2$이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{f(b_n)-f(b)}{b_n-b}=\lim_{n\to\infty}\frac{b_n-1}{b_n-1}=1$이다.따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{f(c_n)-f(c)}{c_n-c}\ne\lim_{n\to\infty}\frac{f(b_n)-f(b)}{b_n-b}$이다.그러므로 제시문(다)에 의하면 $\displaystyle x=1$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 미분가능하지 않다.Correction. 마지막에 인용한 제시문 “(다)”는 “(나)”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.