상경계열 2번

1. 9장의 카드 중에서 임의로 세 장의 카드를 동시에 택하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_9\mathrm C_3=84$.1부터 9까지의 수를 $\displaystyle 3k,\ 3k+1,\ 3k+2$ ($\displaystyle k$는 정수)의 꼴로 나누면$\displaystyle 3k$의 꼴은 $\displaystyle k=1,2,3$인 경우, $\displaystyle 3k+1$의 꼴은 $\displaystyle k=0,1,2$인 경우, $\displaystyle 3k+2$의 꼴은 $\displaystyle k=0,1,2$인 경우로각각 3개이다.세장의 카드에 적힌 숫자의 합이 3의 배수인 경우는 다음과 같다.(i) $\displaystyle 3k,\ 3k+1,\ 3k+2$의 꼴 중에서 어느 한 꼴의 수만 3개 택하는 경우.이 때 그 경우의 수는 $\displaystyle 1+1+1=3$.(ii) $\displaystyle 3k,\ 3k+1,\ 3k+2$의 꼴 중에서 각각 1개씩 택하는 경우.이 때 그 경우의 수는 $\displaystyle 3\times3\times3=27$.(i), (ii)에서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{30}{84}=\frac5{14}$.

2. 위 문제 1의 답안에서 (i)의 경우 합은 각각$\displaystyle 3(1+2+3)=18,\ 3(0+1+2)+3=12,\ 3(0+1+2)+6=15$이므로 2가지.(ii)의 경우에 합은$\displaystyle 3k+(3l+1)+(3m+2)=3(k+l+m)+3,\ k=1,2,3,\ l,m=0,1,2$로 주어진다.$\displaystyle 3(k+l+m)+3$이 6의 배수이려면 $\displaystyle k+l+m$이 홀수이어야 하고, 따라서, $\displaystyle k,l,m$ 중 1개 혹은 3개가 홀수이다.(1) $\displaystyle k,l,m$ 중 1개가 홀수 인 경우.$\displaystyle k$가 홀수 $\displaystyle l,m$이 짝수인 경우의 수는 $\displaystyle 2\times2\times2=8$.$\displaystyle k$가 짝수 $\displaystyle l,m$중 어느 하나만 홀수인 경우의 수는 $\displaystyle 1\times1\times2+1\times1\times2=4$.(2) $\displaystyle k,l,m$ 모두가 홀수인 경우의 수는 $\displaystyle 2\times1\times1=2$.따라서 합이 6의 배수인 경우는 16. 그런데 3의 배수인 경우의 수는 30이므로, 합이 3의 배수이라는 조건에서합이 6의 배수일 확률은 $\displaystyle \frac{16}{30}=\frac8{15}$.

3. 900번 시행에서 세 장의 합이 3의 배수가 나온 횟수를 확률변수 $\displaystyle X$라 하자.$\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm B(900,\frac5{14})$를 따르고, $\displaystyle 900\times\frac5{14}$와 $\displaystyle 900\times\frac9{14}$는 모두 5보다 크므로 $\displaystyle X$는 근사적으로 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(900\times\frac5{14},900\times\frac5{14}\times\frac9{14})$를 따른다고 볼 수 있다.이 정규분포의 표준편차 $\displaystyle \sigma$는 $\displaystyle \sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{900\times\frac5{14}\times\frac9{14}}=\frac{90}{14}\times\sqrt5$로 주어진다.$\displaystyle \sqrt5$의 근사값을 $\displaystyle \frac{56}{25}$라 두고 계산하면 $\displaystyle \sigma\approx\frac{72}5$.$\displaystyle X\le300$일 확률을 구하는 것이므로, 이것은 $\displaystyle Z\le(900(\frac13-\frac5{14}))/\sigma=-(\frac{900}{42})\times\frac5{72}\approx-1.5$일 확률과 근사하다.표준정규분포곡선은 $\displaystyle y$축에 대칭이므로 $\displaystyle Z\le-1.5$일 확률은 $\displaystyle Z\ge1.5$일 확률과 같다. 따라서 표준정규분포표를 이용하면 $\displaystyle X\le300$일 확률은 근사적으로$\displaystyle P(X\le300)=P(Z\le-1.5)=P(Z\ge1.5)=0.5-P(0\le Z\le1.5)\approx0.07$