자연계열 2번

1. 먼저 $\displaystyle B=2E-A$이므로 $\displaystyle AB=A(2E-A)=(2E-A)A=BA$이다.$\displaystyle AB=BA$이고 $\displaystyle A+B=2E$이므로 $\displaystyle (A+B)^2=A^2+B^2+2AB=4E$이다.따라서 $\displaystyle AB=O$이다. (단, $\displaystyle O$는 영행렬)일차변환 $\displaystyle f$의 역변환이 존재하면 $\displaystyle A^{-1}$이 존재하므로 $\displaystyle A^{-1}(AB)=(A^{-1}A)B=EB=B$.즉 $\displaystyle B=O$. 또한 $\displaystyle A+B=2E$에서 $\displaystyle A=2E$.

2. $\displaystyle A^2+B^2=4E$에 $\displaystyle B=2E-A$를 대입하여 정리하면 $\displaystyle A^2-2A=O$이다.$\displaystyle f$는 점 $\displaystyle (1,0)$을 점 $\displaystyle (1,a)$로 보내므로 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&x\\a&y\end{pmatrix}$라 둘 수 있다.$\displaystyle A^2-2A=\begin{pmatrix}ax-1&xy-x\\ay-a&ax+y^2-2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$(1,2)성분을 고려할 때 $\displaystyle x(y-1)=0$이므로 $\displaystyle x=0$ 혹은 $\displaystyle y=1$.그런데 (1,1)성분을 고려할 때 $\displaystyle x=0$일 수 없으므로 $\displaystyle y=1$.이때 (2,1)성분에 관한 등식이 성립한다.(2,2)성분을 고려하면 $\displaystyle ax-1=0$. 따라서 $\displaystyle a\ne0$이면 $\displaystyle x=\frac1a,\ y=1$이고 이때$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&\frac1a\\a&1\end{pmatrix}\text{이고 }B=\begin{pmatrix}1&-\frac1a\\-a&1\end{pmatrix}$$\displaystyle a=0$이면 조건을 만족하는 $\displaystyle f$와 $\displaystyle g$는 존재하지 않는다.

3. $\displaystyle f$는 점 $\displaystyle (1,0)$을 점 $\displaystyle (2,b)$로 보내므로 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&x\\b&y\end{pmatrix}$라 둘 수 있다. 문항 2에서와 마찬가지로$\displaystyle A^2-2A=\begin{pmatrix}bx&xy\\by&bx+y^2-2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$(1,1)성분을 고려할 때, $\displaystyle bx=0$이므로, (2,2)성분으로부터 $\displaystyle y^2-2y=0$.그러므로 $\displaystyle y=0$ 혹은 $\displaystyle y=2$.(i) $\displaystyle y=0$인 경우 $\displaystyle bx=0$이면 $\displaystyle A^2-A=O$이 성립한다.Correction. 조건 $\displaystyle A^2-A=O$는 $\displaystyle A^2-2A=O$의 오기이다. 직전 계산과 최종 행렬 분류는 계수 $\displaystyle 2$를 사용한 조건과 일치한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle b=0$일 때, $\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&x\\0&0\end{pmatrix}$이고 $\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&-x\\0&2\end{pmatrix}$ ($\displaystyle x$는 임의의 실수).$\displaystyle b\ne0$일 때, $\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&0\\b&0\end{pmatrix}$이고 $\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&0\\-b&2\end{pmatrix}$.(ii) $\displaystyle y=2$인 경우 $\displaystyle b=0,x=0$이어야 한다.즉, $\displaystyle b=0$일 때, $\displaystyle A=2E$이고 $\displaystyle B=O$가 가능하다.(i), (ii)를 $\displaystyle b$의 값에 따라 정리하면$\displaystyle b=0$일 때, $\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&x\\0&0\end{pmatrix}$이고 $\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&-x\\0&2\end{pmatrix}$ ($\displaystyle x$는 임의의 실수) 혹은 $\displaystyle A=2E$이고 $\displaystyle B=O$.$\displaystyle b\ne0$일 때, $\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&0\\b&0\end{pmatrix}$이고 $\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&0\\-b&2\end{pmatrix}$.