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자연계열 1번

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한양대 서울캠퍼스 2015학년도 모의 3회 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2015mo_3/jayeon_1

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문제

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

(가) 영보다 큰 실수 z,w\displaystyle z,w에 의하여 평면에서의 영역 D\displaystyle D는 다음과 같이 정하여진다.D={(x,y)∈R2:z≤x≤2z,0≤y≤2w}∪{(x,y)∈R2:0≤x≤2z,w≤y≤2w}\displaystyle D=\{(x,y)\in R^2:z\le x\le2z,0\le y\le2w\}\cup\{(x,y)\in R^2:0\le x\le2z,w\le y\le2w\}

(나) 폐구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 정의된 연속함수 g(x)≥0\displaystyle g(x)\ge0에 대하여 정적분 ∫abg(x)dx\displaystyle \int_a^bg(x)dx는 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 함수 g(x)\displaystyle g(x)의 그래프에 의하여 정하여지는 영역의 넓이이다.

1. 제시문 (가)에서 z+w=10\displaystyle z+w=10인 경우에 영역 D\displaystyle D의 최대 넓이는 언제인가?

2. 지수함수 f(x)=2cx (c≠0)\displaystyle f(x)=2^{cx}\ (c\ne0)의 그래프에 의하여 영역 D\displaystyle D가 2부분으로 나누어질 조건과 3부분으로 나누어질 조건을 z,w,c\displaystyle z,w,c로 각각 표현하시오.

3. 문제 2에서 c=−1\displaystyle c=-1인 경우 3부분으로 나누어졌을 때, 나누어진 영역의 넓이를 z,w\displaystyle z,w로 각각 표현하시오.

해설강의 준비중

한양대 서울캠퍼스 2015학년도 모의 3회 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2015mo_3/jayeon_1

1. 영역 D\displaystyle D의 넓이는 2z×2w−zw=3zw\displaystyle 2z\times2w-zw=3zw이고 z+w=10\displaystyle z+w=10이므로 그 넓이는 3z(10−z)=h(z)\displaystyle 3z(10-z)=h(z)이고h′(z)=30−6z=0\displaystyle h'(z)=30-6z=0에서 z=5\displaystyle z=5일 때 가장 넓은 영역이 된다.

2. c>0\displaystyle c>0인 경우:i) f(0)=1<2w\displaystyle f(0)=1<2w이면 영역이 2부분으로 나누어진다.c<0\displaystyle c<0인 경우:ii) f(0)=1≤w\displaystyle f(0)=1\le w이면 영역이 2부분으로 나누어진다.iii) f(z)=2cz>w\displaystyle f(z)=2^{cz}>w이고 f(2z)=22cz<2w\displaystyle f(2z)=2^{2cz}<2w이면 영역이 2부분으로 나누어진다.iv) f(0)=1>w\displaystyle f(0)=1>w이고 f(z)=2cz≤w\displaystyle f(z)=2^{cz}\le w이면 영역이 3부분으로 나누어진다.

3. iv)에서 2w≥f(0)=1>w\displaystyle 2w\ge f(0)=1>w이고 f(z)=2−z≤w\displaystyle f(z)=2^{-z}\le w인 경우:한 부분의 영역의 넓이는∫z2z2−xdx=2−x−ln⁡2∣z2z=2−2z−2−z−ln⁡2=2−z−2−2zln⁡2\displaystyle \int_z^{2z}2^{-x}dx=\left.\frac{2^{-x}}{-\ln2}\right|_z^{2z}=\frac{2^{-2z}-2^{-z}}{-\ln2}=\frac{2^{-z}-2^{-2z}}{\ln2}이고또 다른 부분의 넓이는∫0−log⁡2w(2−z−w)dx=2−x−ln⁡2−wx∣0−log⁡2w\displaystyle \int_0^{-\log_2w}(2^{-z}-w)dx=\left.\frac{2^{-x}}{-\ln2}-wx\right|_0^{-\log_2w}Correction. 적분 변수는 x\displaystyle x이므로 피적분함수의 2−z\displaystyle 2^{-z}는 2−x\displaystyle 2^{-x}의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.=w−ln⁡2−wlog⁡2w−1−1−ln⁡2=w−1−ln⁡2−wlog⁡2w−1=1−wln⁡2+wlog⁡2w\displaystyle =\frac w{-\ln2}-\frac{w\log_2w}{-1}-\frac1{-\ln2}=\frac{w-1}{-\ln2}-\frac{w\log_2w}{-1}=\frac{1-w}{\ln2}+w\log_2w이고 -- (1)나머지 한 부분은 3zw−2−z−2−2z+1−wln⁡2−wlog⁡2w\displaystyle 3zw-\frac{2^{-z}-2^{-2z}+1-w}{\ln2}-w\log_2w이다.

iv)에서 2w>f(0)=1\displaystyle 2w>f(0)=1이고 f(z)=2−z≤w\displaystyle f(z)=2^{-z}\le w인 경우:Correction. 두 번째 경우의 2w>1\displaystyle 2w>1은 2w<1\displaystyle 2w<1의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.한 부분의 영역의 넓이는∫z2z2−xdx=2−x−ln⁡2∣z2z=2−2z−2−z−ln⁡2=2−z−2−2zln⁡2\displaystyle \int_z^{2z}2^{-x}dx=\left.\frac{2^{-x}}{-\ln2}\right|_z^{2z}=\frac{2^{-2z}-2^{-z}}{-\ln2}=\frac{2^{-z}-2^{-2z}}{\ln2}이다.또 다른 한 부분의 영역의 넓이를 구하기 위하여∫0−log⁡22w(2−z−2w)dx=2−x−ln⁡2−2wx∣0−log⁡22w\displaystyle \int_0^{-\log_2 2w}(2^{-z}-2w)dx=\left.\frac{2^{-x}}{-\ln2}-2wx\right|_0^{-\log_2 2w}Correction. 적분 변수는 x\displaystyle x이므로 피적분함수의 2−z\displaystyle 2^{-z}는 2−x\displaystyle 2^{-x}의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.=2w−ln⁡2−2wlog⁡22w−1−1−ln⁡2=2w−1−ln⁡2−2wlog⁡22w−1=1−2wln⁡2+2wlog⁡22w\displaystyle =\frac{2w}{-\ln2}-\frac{2w\log_2 2w}{-1}-\frac1{-\ln2}=\frac{2w-1}{-\ln2}-\frac{2w\log_2 2w}{-1}=\frac{1-2w}{\ln2}+2w\log_2 2w -- (2)이므로(1)−(2)를 하면 또 다른 한 부분의 영역의 넓이가 된다.따라서 그 영역의 넓이는1−wln⁡2+wlog⁡2w−(1−2wln⁡2+2wlog⁡22w)=wln⁡2−(wlog⁡2w+2w)\displaystyle \frac{1-w}{\ln2}+w\log_2w-(\frac{1-2w}{\ln2}+2w\log_2 2w)=\frac w{\ln2}-(w\log_2w+2w)이고나머지 한 부분은 3zw−(2−z−2−2zln⁡2)−(wln⁡2−(wlog⁡2w+2w))=3zw−(2−z−2−2z+wln⁡2)+wlog⁡2w+2w\displaystyle 3zw-(\frac{2^{-z}-2^{-2z}}{\ln2})-(\frac w{\ln2}-(w\log_2w+2w))=3zw-(\frac{2^{-z}-2^{-2z}+w}{\ln2})+w\log_2w+2w이다.

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