자연계열 1번

1. 영역 $\displaystyle D$의 넓이는 $\displaystyle 2z\times2w-zw=3zw$이고 $\displaystyle z+w=10$이므로 그 넓이는 $\displaystyle 3z(10-z)=h(z)$이고$\displaystyle h'(z)=30-6z=0$에서 $\displaystyle z=5$일 때 가장 넓은 영역이 된다.

2. $\displaystyle c>0$인 경우:i) $\displaystyle f(0)=1<2w$이면 영역이 2부분으로 나누어진다.$\displaystyle c<0$인 경우:ii) $\displaystyle f(0)=1\le w$이면 영역이 2부분으로 나누어진다.iii) $\displaystyle f(z)=2^{cz}>w$이고 $\displaystyle f(2z)=2^{2cz}<2w$이면 영역이 2부분으로 나누어진다.iv) $\displaystyle f(0)=1>w$이고 $\displaystyle f(z)=2^{cz}\le w$이면 영역이 3부분으로 나누어진다.

3. iv)에서 $\displaystyle 2w\ge f(0)=1>w$이고 $\displaystyle f(z)=2^{-z}\le w$인 경우:한 부분의 영역의 넓이는$\displaystyle \int_z^{2z}2^{-x}dx=\left.\frac{2^{-x}}{-\ln2}\right|_z^{2z}=\frac{2^{-2z}-2^{-z}}{-\ln2}=\frac{2^{-z}-2^{-2z}}{\ln2}$이고또 다른 부분의 넓이는$\displaystyle \int_0^{-\log_2w}(2^{-z}-w)dx=\left.\frac{2^{-x}}{-\ln2}-wx\right|_0^{-\log_2w}$Correction. 적분 변수는 $\displaystyle x$이므로 피적분함수의 $\displaystyle 2^{-z}$는 $\displaystyle 2^{-x}$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle =\frac w{-\ln2}-\frac{w\log_2w}{-1}-\frac1{-\ln2}=\frac{w-1}{-\ln2}-\frac{w\log_2w}{-1}=\frac{1-w}{\ln2}+w\log_2w$이고 -- (1)나머지 한 부분은 $\displaystyle 3zw-\frac{2^{-z}-2^{-2z}+1-w}{\ln2}-w\log_2w$이다.

iv)에서 $\displaystyle 2w>f(0)=1$이고 $\displaystyle f(z)=2^{-z}\le w$인 경우:Correction. 두 번째 경우의 $\displaystyle 2w>1$은 $\displaystyle 2w<1$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.한 부분의 영역의 넓이는$\displaystyle \int_z^{2z}2^{-x}dx=\left.\frac{2^{-x}}{-\ln2}\right|_z^{2z}=\frac{2^{-2z}-2^{-z}}{-\ln2}=\frac{2^{-z}-2^{-2z}}{\ln2}$이다.또 다른 한 부분의 영역의 넓이를 구하기 위하여$\displaystyle \int_0^{-\log_2 2w}(2^{-z}-2w)dx=\left.\frac{2^{-x}}{-\ln2}-2wx\right|_0^{-\log_2 2w}$Correction. 적분 변수는 $\displaystyle x$이므로 피적분함수의 $\displaystyle 2^{-z}$는 $\displaystyle 2^{-x}$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle =\frac{2w}{-\ln2}-\frac{2w\log_2 2w}{-1}-\frac1{-\ln2}=\frac{2w-1}{-\ln2}-\frac{2w\log_2 2w}{-1}=\frac{1-2w}{\ln2}+2w\log_2 2w$ -- (2)이므로(1)−(2)를 하면 또 다른 한 부분의 영역의 넓이가 된다.따라서 그 영역의 넓이는$\displaystyle \frac{1-w}{\ln2}+w\log_2w-(\frac{1-2w}{\ln2}+2w\log_2 2w)=\frac w{\ln2}-(w\log_2w+2w)$이고나머지 한 부분은 $\displaystyle 3zw-(\frac{2^{-z}-2^{-2z}}{\ln2})-(\frac w{\ln2}-(w\log_2w+2w))=3zw-(\frac{2^{-z}-2^{-2z}+w}{\ln2})+w\log_2w+2w$이다.