상경계열 2번

1. 영역 $\displaystyle D$의 넓이는 $\displaystyle 2z\times2w-zw=3zw$이고 $\displaystyle z+w=10$이므로 그 넓이는 $\displaystyle 3z(10-z)=h(z)$이고$\displaystyle h'(z)=30-6z=0$에서 $\displaystyle z=5$일 때 가장 넓은 영역이 된다.

2. $\displaystyle c>0$인 경우: 이차함수의 꼭짓점이 $\displaystyle (z,d)$이므로i) $\displaystyle w<d<2w$이면 영역이 2부분으로 나누어진다.ii) $\displaystyle 0<f(2z)=f(0)=cz^2+d\le w$이면 영역이 2부분으로 나누어진다.iii) $\displaystyle f(0)=cz^2+d>w\ge d$이면 영역이 3부분으로 나누어진다.$\displaystyle c<0$인 경우: 이차함수의 꼭짓점이 $\displaystyle (z,d)$이므로iv) $\displaystyle 0<d<2w$이면 영역이 2부분으로 나누어진다.v) $\displaystyle 2w\le d$이고 $\displaystyle f(0)=cz^2+d<2w$이면 영역이 3부분으로 나누어진다.

3. i)의 $\displaystyle w<d<2w$이고 $\displaystyle f(0)=z^2+d>2w$인 경우: 한 부분의 영역의 넓이는$\displaystyle \int_{z-\sqrt{2w-d}}^{z+\sqrt{2w-d}}(2w-((x-z)^2+d))dx=\left.(2w-z^2-d)x+zx^2-\frac13x^3\right|_{z-\sqrt{2w-d}}^{z+\sqrt{2w-d}}$$\displaystyle =2(2w-z^2-d)\sqrt{2w-d}+4z^2\sqrt{2w-d}-2z^2\sqrt{2w-d}-\frac23 2w-d\sqrt{2w-d}$Correction. 마지막 항에서 $\displaystyle 2w-d$를 묶는 괄호가 빠졌다. 바른 항은 $\displaystyle -\frac23(2w-d)\sqrt{2w-d}$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle =(4w-2z^2-2d+4z^2-2z^2-\frac{4w-2d}3)\sqrt{2w-d}=(\frac{8w-4d}3)\sqrt{2w-d}$이고나머지 한 부분은 $\displaystyle 3zw-(\frac{8w-4d}3)\sqrt{2w-d}$이다.

i)의 $\displaystyle w<d<2w$이고 $\displaystyle w<f(0)=z^2+d\le2w$인 경우: 한 부분의 영역의 넓이는$\displaystyle \int_0^{2z}(2w-((x-z)^2+d))dx=\left.(2w-z^2-d)x+zx^2-\frac13x^3\right|_0^{2z}$$\displaystyle =2(2w-z^2-d)z+4z^3-\frac{8z^3}3=4zw-2dz-\frac{2z^3}3$이고나머지 한 부분은 $\displaystyle 3zw-(4zw-2dz-\frac{2z^3}3)=2dz+\frac{2z^3}3-zw$이다.

ii)의 $\displaystyle d\ge0$인 경우: 한 부분의 영역의 넓이는$\displaystyle \int_z^{2z}((x-z)^2+d))dx=\left.\frac13x^3-zx^2+(z^2+d)x\right|_z^{2z}=\frac{7z^3}3-3z^3+z^3+dz=\frac{z^3}3+dz$이고나머지 한 부분의 영역의 넓이는 $\displaystyle 3zw-\frac{z^3}3-dz$이다.

ii)의 $\displaystyle d<0$인 경우: 한 부분의 영역의 넓이는$\displaystyle \int_{z+\sqrt{-d}}^{2z}((x-z)^2+d))dx=\left.\frac13x^3-zx^2+(z^2+d)x\right|_{z+\sqrt{-d}}^{2z}=\frac{z^3}3+dz-\frac{2d\sqrt{-d}}3$이고나머지 한 부분의 영역의 넓이는 $\displaystyle 3zw-\frac{z^3}3-dz+\frac{2d\sqrt{-d}}3$이다.