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상경계열 2번

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한양대 서울캠퍼스 2015학년도 모의 3회 상경계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2015mo_3/sanggyeong_2

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문제

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

(가) 영 보다 큰 실수 z,w\displaystyle z,w에 의하여 평면에서의 영역 D\displaystyle D는 다음과 같이 정하여진다.D={(x,y)∈R2:z≤x≤2z,0≤y≤2w}∪{(x,y)∈R2:0≤x≤2z,w≤y≤2w}\displaystyle D=\{(x,y)\in R^2:z\le x\le2z,0\le y\le2w\}\cup\{(x,y)\in R^2:0\le x\le2z,w\le y\le2w\}

(나) 폐구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 정의된 연속함수 g(x)≥0\displaystyle g(x)\ge0에 대하여 정적분 ∫abg(x)dx\displaystyle \int_a^bg(x)dx는 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 함수 g(x)\displaystyle g(x)의 그래프에 의하여 정하여지는 영역의 넓이이다.

1. 제시문 (가)에서 z+w=10\displaystyle z+w=10인 경우에 영역 D\displaystyle D의 최대 넓이는 언제인가?

2. 제시문 (가)의 실수 z\displaystyle z에 대하여, 이차함수 f(x)=c(x−z)2+d\displaystyle f(x)=c(x-z)^2+d의 그래프에 의해서 영역 D\displaystyle D가 2부분으로 나누어질 조건과 3부분으로 나누어질 조건을 z,w,c,d\displaystyle z,w,c,d로 각각 표현하시오.

3. 문제 2에서 c=1\displaystyle c=1인 경우에 2부분으로 나누어졌을 때, 나누어진 영역을 z,w,d\displaystyle z,w,d로 각각 표현하시오.

해설강의 준비중

한양대 서울캠퍼스 2015학년도 모의 3회 상경계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2015mo_3/sanggyeong_2

1. 영역 D\displaystyle D의 넓이는 2z×2w−zw=3zw\displaystyle 2z\times2w-zw=3zw이고 z+w=10\displaystyle z+w=10이므로 그 넓이는 3z(10−z)=h(z)\displaystyle 3z(10-z)=h(z)이고h′(z)=30−6z=0\displaystyle h'(z)=30-6z=0에서 z=5\displaystyle z=5일 때 가장 넓은 영역이 된다.

2. c>0\displaystyle c>0인 경우: 이차함수의 꼭짓점이 (z,d)\displaystyle (z,d)이므로i) w<d<2w\displaystyle w<d<2w이면 영역이 2부분으로 나누어진다.ii) 0<f(2z)=f(0)=cz2+d≤w\displaystyle 0<f(2z)=f(0)=cz^2+d\le w이면 영역이 2부분으로 나누어진다.iii) f(0)=cz2+d>w≥d\displaystyle f(0)=cz^2+d>w\ge d이면 영역이 3부분으로 나누어진다.c<0\displaystyle c<0인 경우: 이차함수의 꼭짓점이 (z,d)\displaystyle (z,d)이므로iv) 0<d<2w\displaystyle 0<d<2w이면 영역이 2부분으로 나누어진다.v) 2w≤d\displaystyle 2w\le d이고 f(0)=cz2+d<2w\displaystyle f(0)=cz^2+d<2w이면 영역이 3부분으로 나누어진다.

3. i)의 w<d<2w\displaystyle w<d<2w이고 f(0)=z2+d>2w\displaystyle f(0)=z^2+d>2w인 경우: 한 부분의 영역의 넓이는∫z−2w−dz+2w−d(2w−((x−z)2+d))dx=(2w−z2−d)x+zx2−13x3∣z−2w−dz+2w−d\displaystyle \int_{z-\sqrt{2w-d}}^{z+\sqrt{2w-d}}(2w-((x-z)^2+d))dx=\left.(2w-z^2-d)x+zx^2-\frac13x^3\right|_{z-\sqrt{2w-d}}^{z+\sqrt{2w-d}}=2(2w−z2−d)2w−d+4z22w−d−2z22w−d−232w−d2w−d\displaystyle =2(2w-z^2-d)\sqrt{2w-d}+4z^2\sqrt{2w-d}-2z^2\sqrt{2w-d}-\frac23 2w-d\sqrt{2w-d}Caution. 괄호로 연산의 범위를 분명히 하라: 소문항 3의 적분 계산에서 마지막 항은 2w−d\displaystyle 2w-d 전체를 묶어 −23(2w−d)2w−d\displaystyle -\frac23(2w-d)\sqrt{2w-d}로 써야 한다. 괄호를 생략하면 다른 식이 된다. 대학 해설의 다음 줄은 올바르게 묶어 계산하므로 제시된 넓이는 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.=(4w−2z2−2d+4z2−2z2−4w−2d3)2w−d=(8w−4d3)2w−d\displaystyle =(4w-2z^2-2d+4z^2-2z^2-\frac{4w-2d}3)\sqrt{2w-d}=(\frac{8w-4d}3)\sqrt{2w-d}이고나머지 한 부분은 3zw−(8w−4d3)2w−d\displaystyle 3zw-(\frac{8w-4d}3)\sqrt{2w-d}이다.

i)의 w<d<2w\displaystyle w<d<2w이고 w<f(0)=z2+d≤2w\displaystyle w<f(0)=z^2+d\le2w인 경우: 한 부분의 영역의 넓이는∫02z(2w−((x−z)2+d))dx=(2w−z2−d)x+zx2−13x3∣02z\displaystyle \int_0^{2z}(2w-((x-z)^2+d))dx=\left.(2w-z^2-d)x+zx^2-\frac13x^3\right|_0^{2z}=2(2w−z2−d)z+4z3−8z33=4zw−2dz−2z33\displaystyle =2(2w-z^2-d)z+4z^3-\frac{8z^3}3=4zw-2dz-\frac{2z^3}3이고나머지 한 부분은 3zw−(4zw−2dz−2z33)=2dz+2z33−zw\displaystyle 3zw-(4zw-2dz-\frac{2z^3}3)=2dz+\frac{2z^3}3-zw이다.

ii)의 d≥0\displaystyle d\ge0인 경우: 한 부분의 영역의 넓이는∫z2z((x−z)2+d))dx=13x3−zx2+(z2+d)x∣z2z=7z33−3z3+z3+dz=z33+dz\displaystyle \int_z^{2z}((x-z)^2+d))dx=\left.\frac13x^3-zx^2+(z^2+d)x\right|_z^{2z}=\frac{7z^3}3-3z^3+z^3+dz=\frac{z^3}3+dz이고나머지 한 부분의 영역의 넓이는 3zw−z33−dz\displaystyle 3zw-\frac{z^3}3-dz이다.

ii)의 d<0\displaystyle d<0인 경우: 한 부분의 영역의 넓이는∫z+−d2z((x−z)2+d))dx=13x3−zx2+(z2+d)x∣z+−d2z=z33+dz−2d−d3\displaystyle \int_{z+\sqrt{-d}}^{2z}((x-z)^2+d))dx=\left.\frac13x^3-zx^2+(z^2+d)x\right|_{z+\sqrt{-d}}^{2z}=\frac{z^3}3+dz-\frac{2d\sqrt{-d}}3이고나머지 한 부분의 영역의 넓이는 3zw−z33−dz+2d−d3\displaystyle 3zw-\frac{z^3}3-dz+\frac{2d\sqrt{-d}}3이다.

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