자연계열 2번

1. 제시문 (가)에 주어진 조건에 의해, 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해$\displaystyle f'(x)=\frac\pi4f(x+2)$가 성립한다. 그러므로,$\displaystyle \int_0^2xf(x+2)dx=\frac4\pi\int_0^2xf'(x)dx=\frac4\pi(\Biggl[xf(x)\Biggr]_0^2-\int_0^2f(x)dx)$그런데, $\displaystyle \Biggl[xf(x)\Biggr]_0^2=2f(2)=2$이고, 또한 제시문 (가)의 조건들을 다시 이용하면$\displaystyle -f(2)=f(-2)=\frac\pi4\int_2^0f(t)dt=-\frac\pi4\int_0^2f(t)dt$이므로 $\displaystyle \int_0^2f(t)dt=\frac4\pi$이므로, $\displaystyle \int_0^2xf(x+2)dx=\frac4\pi(2-\frac4\pi)=\frac8\pi(1-\frac2\pi)$이다.

2. $\displaystyle f'(x)=\frac\pi4f(x+2)$가 성립하므로 $\displaystyle f(x)$는 모든 실수 $\displaystyle x$에서 미분가능하다.그런데 $\displaystyle f(x+2)$는 함수 $\displaystyle x+2$와 $\displaystyle f(x)$의 합성함수이므로 제시문 (나)에 의해$\displaystyle f''(x)=(\frac\pi4f(x+2))'=\frac\pi4(f(x+2))'=\frac\pi4f'(x+2)=(\frac\pi4)^2f(x+4)$가 성립한다. 즉 $\displaystyle f''(x)$는 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해 존재하고 그 값은 $\displaystyle (\frac\pi4)^2f(x+4)$이다.

3. $\displaystyle f(x)=\sin(\frac\pi4x)$라 두면 $\displaystyle f(x)$는 연속이고 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 원점에 대해 대칭이다.또한 $\displaystyle f(2)=1$을 만족한다. 더 나아가$\displaystyle \int_2^{x+2}\sin(\frac\pi4x)dx=\Biggl[-\frac4\pi\cos(\frac\pi4x)\Biggr]_2^{x+2}=-\frac4\pi\cos(\frac\pi4x+\frac\pi2)+\cos\frac\pi2=\frac4\pi\sin(\frac\pi4x)$그러므로, $\displaystyle \frac\pi4\int_2^{x+2}\sin(\frac\pi4x)dx=\sin(\frac\pi4x)$. 즉, $\displaystyle f(x)=\frac\pi4\int_2^{x+2}f(t)dt$,따라서 함수 $\displaystyle f(x)=\sin(\frac\pi4x)$는 제시문 (가)의 조건을 모두 만족한다.