자연계열 1번

(1) 점 $\displaystyle Q_0(3,P(3))$에서 그래프의 접선의 방정식은 $\displaystyle y-P(3)=P^{\prime}(3)(x-3)$이므로 $\displaystyle -5=6(a_1-3)$이고 $\displaystyle a_1=\frac{13}6$점 $\displaystyle Q_n(a_n,P(a_n))$에서 그래프의 접선의 방정식은$\displaystyle y-P(a_n)=P^{\prime}(a_n)(x-a_n)$이므로 $\displaystyle -P(a_n)=P^{\prime}(a_n)(a_{n+1}-a_n)$이고 $\displaystyle a_{n+1}=a_n-\frac{P(a_n)}{P^{\prime}(a_n)}$이다.

(2) $\displaystyle a_{n+1}=a_n-\frac{P(a_n)}{P^{\prime}(a_n)}=a_n-\frac{a_n^2-4}{2a_n}=\frac12\left(a_n+\frac4{a_n}\right)$이다.1) 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n>2$임을 수학적 귀납법으로 보이자.(i) $\displaystyle a_1=\frac{13}6>2$가 성립한다.(ii) $\displaystyle n=k$일 때 $\displaystyle a_k>2$가 성립한다고 가정하자.$\displaystyle n=k+1$일 때, $\displaystyle a_{k+1}=\frac12\left(a_k+\frac4{a_k}\right)>\frac12\cdot2\sqrt{a_k\cdot\frac4{a_k}}=2$가 성립한다.따라서 수학적 귀납법에 의하여 $\displaystyle a_n>2$이 성립한다.2) $\displaystyle a_{n+1}=a_n-\frac{a_n^2-4}{2a_n}$이고 $\displaystyle a_n>2,a_n^2>4$이므로 $\displaystyle a_{n+1}<a_n$이 성립한다.

(3) $\displaystyle P(0)=-4,P(3)=5$이므로 중간값의 정리에 의하여 $\displaystyle P(c)=0$인 $\displaystyle c\in(0,3)$가 존재한다.그런데 $\displaystyle P^{\prime}(x)=2x$이므로 $\displaystyle x\in(0,3)$에 대하여 $\displaystyle P^{\prime}(x)>0$이므로,제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle y,z\in[0,3]\ (y<z)$이면 $\displaystyle P(y)<P(z)$이다. 그러므로 $\displaystyle P(c)=0$인 $\displaystyle c\in(0,3)$는 유일하다.(2)의 결과와 제시문 다)에 의하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a$가 존재하며 $\displaystyle 2\le a<3$이 성립한다.제시문 (라)와 연속인 함수의 성질에 의하여,$\displaystyle a_{n+1}=a_n-\frac{P(a_n)}{P^{\prime}(a_n)}$에서 극한을 취하면, $\displaystyle a=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(a_n-\frac{P(a_n)}{P^{\prime}(a_n)}\right)=a-\frac{P(a)}{P^{\prime}(a)}$가 성립한다.따라서 $\displaystyle P(a)=0$이다.