자연계열 2번

(1) $\displaystyle \ln h(x)=x\ln\left(1+\frac1x\right)$이고, 양변을 미분하면, $\displaystyle \frac{h^{\prime}(x)}{h(x)}=\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{1+x}$이다.$\displaystyle f(x)=\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{1+x}$라 하고, 이 식의 양변을 미분하면, $\displaystyle f^{\prime}(x)=-\frac1{(1+x)x}+\frac1{(1+x)^2}<0$이다.ⓐ $\displaystyle f(x)$는 열린구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 감소함수이다.ⓑ 또한 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0$이고, $\displaystyle f(1)=\ln2-\frac12>0$이다.ⓐ와 ⓑ에 의해, 모든 $\displaystyle x\in(0,\infty)$에 대하여 $\displaystyle f(x)>0$임을 알 수 있다.따라서 $\displaystyle h^{\prime}(x)>0$이므로, 함수 $\displaystyle h(x)$는 증가함수이다.

(2) $\displaystyle \frac{g(x)}x$는 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 감소함수이므로, 임의의 $\displaystyle s,t\in(0,\infty)$에 대하여$\displaystyle \frac1{s+t}g(s+t)\le\frac1tg(t)$ …… ㉠이 성립한다. $\displaystyle 0<s\le t$라고 가정하자. 그러면 $\displaystyle \frac{g(s)}s\ge\frac{g(t)}t$이 성립함을 알 수 있다.㉠의 양변에 $\displaystyle s+t$를 곱하면,$\displaystyle g(s+t)\le\frac stg(t)+g(t)=\frac{g(t)/t}{g(s)/s}g(s)+g(t)\le g(s)+g(t)$이 성립한다.

(3) 함수 $\displaystyle f(x)=x^{\frac1n}+x^{\frac1m},\ (x>0)$일 때,① $\displaystyle n,m$은 2보다 크거나 같은 양의 정수이므로, $\displaystyle \frac1n,\frac1m>0$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(x^{\frac1n}+x^{\frac1m}\right)=\infty$이다.② 양의 정수 $\displaystyle n,m\ge2$에 대하여 $\displaystyle \frac1n-1,\frac1m-1<0$이므로,$\displaystyle 0<x<y\ \Rightarrow\ x^{\frac1n-1}>y^{\frac1n-1},\quad x^{\frac1m-1}>y^{\frac1m-1}$이 성립한다. 임의의 양의 실수 $\displaystyle x<y$에 대하여$\displaystyle \frac{f(x)}x=x^{\frac1n-1}+x^{\frac1m-1}>y^{\frac1n-1}+y^{\frac1m-1}=\frac{f(y)}y$이므로, $\displaystyle \frac{f(x)}x$는 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 감소함수이다. 또한, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{\frac1n}+x^{\frac1m}}x=0$이다.임의의 양의 실수 $\displaystyle s\in(0,\infty)$에 대하여,$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to\infty}(f(s+t)-f(t))&=\lim_{t\to\infty}\left[(s+t)^{\frac1n}-t^{\frac1n}+(s+t)^{\frac1m}-t^{\frac1m}\right]\\&=\lim_{t\to\infty}\left[\frac s{(s+t)^{\frac{n-1}n}+(s+t)^{\frac{n-2}n}t^{\frac1n}+\cdots+(s+t)^{\frac1n}t^{\frac{n-2}n}+t^{\frac{n-1}n}}\right]\\&\quad+\lim_{t\to\infty}\left[\frac s{(s+t)^{\frac{m-1}m}+(s+t)^{\frac{m-2}m}t^{\frac1m}+\cdots+(s+t)^{\frac1m}t^{\frac{m-2}m}+t^{\frac{m-1}m}}\right]\\&=0\end{aligned}$이다.