상경계열 2번

1. $\displaystyle p=1$일 때, $\displaystyle y=(x-a)^1=x-a$이고, $\displaystyle y^{\prime}=1$이므로 성립한다. $\displaystyle p=k$일 때, 성립한다고 가정하면, $\displaystyle y=(x-a)^{k+1}=(x-a)^k(x-a)$의 도함수는 $\displaystyle y^{\prime}=k(x-a)^{k-1}\cdot(x-a)+(x-a)^k\cdot1=(k+1)(x-a)^k$이므로 $\displaystyle p=k+1$일 때 역시 성립한다.

2. $\displaystyle m_1(x)=f^{\prime}(x),\ m_2(x)=\frac{f(x)-0}{x-a}=\frac{f(x)}{x-a},\ m_3(x)=\frac{0-f(x)}{b-x}=\frac{f(x)}{x-b}$이다.

$\displaystyle g(x)=f^{\prime}(x)(x-a)(x-b)+pf(x)(x-b)+qf(x)(x-a)$라 하면, 다항함수 $\displaystyle y=g(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고, $\displaystyle g(a)=pf(a)(a-b),\ g(b)=qf(b)(b-a)$이므로, $\displaystyle g(a)g(b)<0$이다. 따라서 중간값의 정리에 의해, $\displaystyle g(c)=0$을 만족하는 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$안에 적어도 하나 존재한다.$\displaystyle g(c)=f^{\prime}(c)(c-a)(c-b)+pf(c)(c-b)+qf(c)(c-a)=0$이고, $\displaystyle f^{\prime}(c)+p\frac{f(c)}{c-a}+q\frac{f(c)}{c-b}=0$이므로, $\displaystyle m_1(c)+pm_2(c)+qm_3(c)=0$가 성립한다.

3. $\displaystyle h(a)=h(b)=0$이므로, 적당한 양의 정수 $\displaystyle p,q$와 $\displaystyle f(a)\ne0,f(b)\ne0$인 다항함수 $\displaystyle y=f(x)$가 존재해서, $\displaystyle h(x)=f(x)(x-a)^p(x-b)^q$가 된다. 이 때, 중간값의 정리에 의해 $\displaystyle y=f(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 항상 양의 함수값을 갖거나 또는 항상 음의 함수값을 갖는다.$\displaystyle \begin{aligned}h^{\prime}(x)&=f^{\prime}(x)(x-a)^p(x-b)^q+f(x)p(x-a)^{p-1}(x-b)^q+f(x)(x-a)^pq(x-b)^{q-1}\\&=(x-a)^{p-1}(x-b)^{q-1}(f^{\prime}(x)(x-a)(x-b)+pf(x)(x-b)+qf(x)(x-a))\end{aligned}$

$\displaystyle g(x)=f^{\prime}(x)(x-a)(x-b)+pf(x)(x-b)+qf(x)(x-a)$라 하면 소문항 2번에서 $\displaystyle g(c)=0$을 만족하는 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$안에 적어도 하나 존재하고, 이때 $\displaystyle h^{\prime}(c)=0$이다.