자연계열 1번

1. 제시문(가)에 있는 그림의 타원을 점 O가 원점에, 점 F, F′이 $\displaystyle x$축 위에 오도록 좌표평면 위에 놓으면타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}9+\frac{y^2}4=1$이고, $\displaystyle \mathrm B(0,2),\ \mathrm B'(0,-2),\ \mathrm F'(-\sqrt5,0)$이다.점 B와 초점 F′을 잇는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac2{\sqrt5}x+2$이다. 이로부터 $\displaystyle \mathrm Q\left(-\frac{9\sqrt5}7,-\frac47\right)$를 구하고,따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}=\sqrt{\left(0-\left(-\frac{9\sqrt5}7\right)\right)^2+\left(2-\left(-\frac47\right)\right)^2}=\frac{27}7$이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}=\frac{27}7<4=\overline{\mathrm{BB'}}$이므로, 이 타원의 경우 수연이의 추측은 참이 아니다.

2. 주어진 타원의 방정식을 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $\displaystyle (0<b<a)$이라 하면,$\displaystyle \mathrm B(0,b),\ \mathrm B'(0,-b),\ \mathrm F'(-\sqrt{a^2-b^2},0)$이다. 문제 1번과 같은 방법으로$\displaystyle \mathrm Q\left(-\frac{2a^2\sqrt{a^2-b^2}}{2a^2-b^2},-\frac{b^3}{2a^2-b^2}\right)$를 구하고, 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}=\frac{2a^3}{2a^2-b^2}$를 얻는다.이 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}=\overline{\mathrm{BB'}}$이면 $\displaystyle \frac{2a^3}{2a^2-b^2}=2b$이고, $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AA'}}}{\overline{\mathrm{BB'}}}=\frac ab=\frac{1+\sqrt5}2$이다.

3. 주어진 타원의 방정식을 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $\displaystyle (0<b<a)$이라 하고, 이 타원 위의 한 점을 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$라 하면$\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}=\sqrt{(x-0)^2+(y-b)^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{b^2}y^2+y^2-2by+b^2}=\sqrt{\frac{b^2-a^2}{b^2}\left(y-\frac{b^3}{b^2-a^2}\right)^2+\frac{a^4}{a^2-b^2}}$이고, 이 때 $\displaystyle -b\le y\le b$이다.(1) $\displaystyle \frac{b^3}{b^2-a^2}\le-b$ $\displaystyle \left(\frac ab\le\sqrt2\right)$이면, P의 $\displaystyle y$좌표가 $\displaystyle -b$인 경우에만, $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}$는 최댓값 $\displaystyle 2b$를 갖는다.

한편 문제 2번에서 구한 Q의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle -\frac{b^3}{2a^2-b^2}$이고, $\displaystyle -\frac{b^3}{2a^2-b^2}\ne-b$이므로, 이 경우 수연이의추측은 참이 아니다.

(2) $\displaystyle \frac{b^3}{b^2-a^2}>-b$ $\displaystyle \left(\frac ab>\sqrt2\right)$이면, P의 $\displaystyle y$좌표가 $\displaystyle \frac{b^3}{b^2-a^2}$인 경우에만, $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}$는 최댓값 $\displaystyle \sqrt{\frac{a^4}{a^2-b^2}}$을갖는다.

한편 문제 2번에서 구한 Q의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle -\frac{b^3}{2a^2-b^2}$이고 $\displaystyle -\frac{b^3}{2a^2-b^2}\ne\frac{b^3}{b^2-a^2}$이므로,이 경우 역시 수연이의 추측은 참이 아니다.