자연계열 1번

한양대 서울캠퍼스 2017학년도 모의 2회 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2017mo_2/jayeon_1

[문제 1번] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 아래 그림과 같이 평면 위의 서로 다른 두 점 F, F′에서의 거리의 합이 일정한 점들의 집합을 타원이라고 하며 두 점 F, F′을 타원의 초점이라고 한다. 타원의 두 초점을 잇는 직선이 타원과 만나는 점을 각각 A, A′이라 하고, 선분 FF′의 수직이등분선이 타원과 만나는 점을 각각 B, B′이라고 하자.

(나) 원 위의 한 점 P에서 가장 멀리 떨어져 있는 원 위의 점은 P와 원의 중심을 지나는 직선과 원이 만나는 P아닌 점이고, 그 거리는 원의 지름과 같다. 수연이는 타원의 경우는 어떨까 생각해 보기로 하였다. 먼저 위 그림과 같이 타원을 그렸을 때 점 B에서 가장 멀리 떨어져 있는 타원 위의 점을 조사해 보았다. 수연이는 점 B와 한 초점 F′ (또는 F)을 지나는 직선과 타원이 만나는 B아닌 점을 Q라 할 때, Q는 B로 부터 가장 멀리 떨어져 있는 타원 위의 점들 중 하나라고 추측했다.

1. 제시문(가)에서 주어진 타원이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AA'}}=6,\ \overline{\mathrm{BB'}}=4$ 를 만족한다고 하자. 이 타원에 대해 제시문(나)에서 주어진 수연이의 추측의 참, 거짓 여부를 판정하고 그 이유를 설명하시오.

2. 제시문(가)에서 주어진 타원이 $\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}=\overline{\mathrm{BB'}}$ 를 만족한다고 하자. 이때, $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AA'}}}{\overline{\mathrm{BB'}}}$ 의 값을 구하시오.

3. 제시문(나)에서 주어진 수연이의 추측이 참이 되는 타원이 존재하는가? 존재한다면 이러한 타원의 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AA'}}}{\overline{\mathrm{BB'}}}$ 의 값을 구하고, 존재하지 않는다면 그 이유를 설명하시오.

해설강의 준비중

한양대 서울캠퍼스 2017학년도 모의 2회 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2017mo_2/jayeon_1

+20점 ·

\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}

를 정확히 구했는가?

1. 제시문(가)에 있는 그림의 타원을 점 O가 원점에, 점 F, F′이 $\displaystyle x$ 축 위에 오도록 좌표평면 위에 놓으면타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}9+\frac{y^2}4=1$ 이고, $\displaystyle \mathrm B(0,2),\ \mathrm B'(0,-2),\ \mathrm F'(-\sqrt5,0)$ 이다.점 B와 초점 F′을 잇는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac2{\sqrt5}x+2$ 이다. 이로부터 $\displaystyle \mathrm Q\left(-\frac{9\sqrt5}7,-\frac47\right)$ 를 구하고,따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}=\sqrt{\left(0-\left(-\frac{9\sqrt5}7\right)\right)^2+\left(2-\left(-\frac47\right)\right)^2}=\frac{27}7$ 이다.

+10점 · 주어진 타원이 조건을 만족하는지 잘 판정했는가?

$\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}=\frac{27}7<4=\overline{\mathrm{BB'}}$ 이므로, 이 타원의 경우 수연이의 추측은 참이 아니다.

+30점 ·

\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AA'}}}{\overline{\mathrm{BB'}}}

를 정확히 구했는가?

2. 주어진 타원의 방정식을 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $\displaystyle (0<b<a)$ 이라 하면, $\displaystyle \mathrm B(0,b),\ \mathrm B'(0,-b),\ \mathrm F'(-\sqrt{a^2-b^2},0)$ 이다. 문제 1번과 같은 방법으로 $\displaystyle \mathrm Q\left(-\frac{2a^2\sqrt{a^2-b^2}}{2a^2-b^2},-\frac{b^3}{2a^2-b^2}\right)$ 를 구하고, 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}=\frac{2a^3}{2a^2-b^2}$ 를 얻는다.이 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}=\overline{\mathrm{BB'}}$ 이면 $\displaystyle \frac{2a^3}{2a^2-b^2}=2b$ 이고, $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AA'}}}{\overline{\mathrm{BB'}}}=\frac ab=\frac{1+\sqrt5}2$ 이다.

+20점 ·

\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}

의 최대값을 정확히 구했는가?

+20점 · 위의 정보를 이용해 조건을 만족하는 타원의 존재여부를 잘 판정했는가?

3. 주어진 타원의 방정식을 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $\displaystyle (0<b<a)$ 이라 하고, 이 타원 위의 한 점을 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$ 라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}=\sqrt{(x-0)^2+(y-b)^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{b^2}y^2+y^2-2by+b^2}=\sqrt{\frac{b^2-a^2}{b^2}\left(y-\frac{b^3}{b^2-a^2}\right)^2+\frac{a^4}{a^2-b^2}}$ 이고, 이 때 $\displaystyle -b\le y\le b$ 이다.(1) $\displaystyle \frac{b^3}{b^2-a^2}\le-b$ $\displaystyle \left(\frac ab\le\sqrt2\right)$ 이면, P의 $\displaystyle y$ 좌표가 $\displaystyle -b$ 인 경우에만, $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}$ 는 최댓값 $\displaystyle 2b$ 를 갖는다.

한편 문제 2번에서 구한 Q의 $\displaystyle y$ 좌표는 $\displaystyle -\frac{b^3}{2a^2-b^2}$ 이고, $\displaystyle -\frac{b^3}{2a^2-b^2}\ne-b$ 이므로, 이 경우 수연이의추측은 참이 아니다.

(2) $\displaystyle \frac{b^3}{b^2-a^2}>-b$ $\displaystyle \left(\frac ab>\sqrt2\right)$ 이면, P의 $\displaystyle y$ 좌표가 $\displaystyle \frac{b^3}{b^2-a^2}$ 인 경우에만, $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}$ 는 최댓값 $\displaystyle \sqrt{\frac{a^4}{a^2-b^2}}$ 을갖는다.

한편 문제 2번에서 구한 Q의 $\displaystyle y$ 좌표는 $\displaystyle -\frac{b^3}{2a^2-b^2}$ 이고 $\displaystyle -\frac{b^3}{2a^2-b^2}\ne\frac{b^3}{b^2-a^2}$ 이므로,이 경우 역시 수연이의 추측은 참이 아니다.

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