자연계열 2번

(1) $\displaystyle x=\frac\pi2-t$로 치환하면, $\displaystyle dx=-dt$이다. 이를 이용하면 정적분 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}xf(\cos x)\,dx$의 값을 다음과 같이구할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\frac\pi2}xf(\cos x)\,dx&=\int_{\frac\pi2}^0\left(\frac\pi2-t\right)f\left(\cos\left(\frac\pi2-t\right)\right)(-dt)\\&=\int_0^{\frac\pi2}\left(\frac\pi2-t\right)f(\sin t)\,dt\\&=\frac\pi2\int_0^{\frac\pi2}f(\sin t)\,dt-\int_0^{\frac\pi2}tf(\sin t)\,dt\end{aligned}$

위의 식으로부터 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}xf(\cos x)\,dx+\int_0^{\frac\pi2}xf(\sin x)\,dx=\frac\pi2\int_0^{\frac\pi2}f(\sin t)\,dt=\frac\pi2\times\frac\pi2=\frac{\pi^2}4$이다.

(2) $\displaystyle I=\int_0^{\frac\pi4}\ln(1+\tan x)\,dx$라고 하자.정적분 $\displaystyle I$에서 $\displaystyle x=\frac\pi4-t$로 치환하면, $\displaystyle dx=-dt$이다.탄젠트 덧셈공식을 사용하여, $\displaystyle \tan x=\tan\left(\frac\pi4-t\right)=\frac{\tan\frac\pi4-\tan t}{1+\tan\frac\pi4\cdot\tan t}=\frac{1-\tan t}{1+\tan t}$을 얻는다.그러면 $\displaystyle \begin{aligned}I=\int_0^{\frac\pi4}\ln(1+\tan x)\,dx&=\int_{\frac\pi4}^0\ln\left(1+\frac{1-\tan t}{1+\tan t}\right)(-dt)\\&=\int_0^{\frac\pi4}\ln\frac2{1+\tan t}\,dt=\int_0^{\frac\pi4}[\ln2-\ln(1+\tan t)]\,dt=\frac\pi4\ln2-I\end{aligned}$이다.

따라서 $\displaystyle I=\frac\pi8\ln2$이다.

(3) $\displaystyle f(x)=\cos x-\int_0^{\frac\pi4}\left(f(t)-\frac\pi4\right)\cos t\,dt$에서 $\displaystyle A=\int_0^{\frac\pi4}\left(f(t)-\frac\pi4\right)\cos t\,dt$라고 하자.그러면 $\displaystyle f(x)=\cos x-A$이므로,$\displaystyle \begin{aligned}A&=\int_0^{\frac\pi4}\left(f(t)-\frac\pi4\right)\cos t\,dt=\int_0^{\frac\pi4}\left(\cos t-A-\frac\pi4\right)\cos t\,dt\\&=\int_0^{\frac\pi4}\cos^2t\,dt-\left(A+\frac\pi4\right)\int_0^{\frac\pi4}\cos t\,dt=\int_0^{\frac\pi4}\frac{\cos2t+1}2\,dt-\left(A+\frac\pi4\right)\int_0^{\frac\pi4}\cos t\,dt\end{aligned}$

$\displaystyle =\frac12\Biggl[\frac12\sin2t+t\Biggr]_0^{\frac\pi4}-\left(A+\frac\pi4\right)\Biggl[\sin t\Biggr]_0^{\frac\pi4}=\frac12\left(\frac12+\frac\pi4\right)-\left(A+\frac\pi4\right)\frac{\sqrt2}2$이다. 따라서 $\displaystyle A=\frac{2-\sqrt2}4-\frac\pi8(3\sqrt2-4)$이므로, $\displaystyle f(x)=\cos x-\frac{2-\sqrt2}4+\frac\pi8(3\sqrt2-4)$이다.