자연계열 1번

1. $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{3}\left(1-\sqrt[3]{\frac{15}{x^{2}}}\right)$이므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\sqrt{15}$에서 최솟값$\displaystyle f(\sqrt{15})=\frac{8+\sqrt{15}}{3}-\sqrt[3]{15\sqrt{15}}=\frac{8+\sqrt{15}}{3}-\sqrt{15}=\frac{8-2\sqrt{15}}{3}$을 갖는다.

2. $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{1}{5}\left(1-\sqrt[5]{\frac{24}{x^{4}}}\right)$이고 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=\frac{4}{25}\sqrt[5]{\frac{24}{x^{9}}}$이므로 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=\sqrt[4]{24}$에서 최솟값$\displaystyle g(\sqrt[4]{24})=\frac{10+\sqrt[4]{24}}{5}-\sqrt[5]{24\sqrt[4]{24}}=\frac{10+\sqrt[4]{24}}{5}-\sqrt[4]{24}=\frac{10-4\sqrt[4]{24}}{5}>0$을 갖는다. 따라서 모든 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g(x)>0$.

3. 1,2번의 내용을 토대로 함수 $\displaystyle h_{2017}(x)=\frac{a_{1}+\cdots+a_{2016}+x}{2017}-\sqrt[2017]{a_{1}\cdots a_{2016}x}$ 를 생각해보면$\displaystyle h_{2017}^{\prime}(x)=\frac{1}{2017}\left(1-\sqrt[2017]{\frac{a_{1}\cdots a_{2016}}{x^{2016}}}\right)$이고$\displaystyle h_{2017}^{\prime\prime}(x)=\frac{2016}{(2017)^{2}}\sqrt[2017]{\frac{a_{1}\cdots a_{2016}}{x^{4033}}}$이므로 $\displaystyle h_{2017}(x)$는 $\displaystyle x=\sqrt[2016]{a_{1}\cdots a_{2016}}$에서 최솟값

$\displaystyle \begin{aligned} h_{2017}\left(\sqrt[2016]{a_{1}\cdots a_{2016}}\right) &= \frac{a_{1}+\cdots+a_{2016}+\sqrt[2016]{a_{1}\cdots a_{2016}}}{2017}-\sqrt[2017]{a_{1}\cdots a_{2016}\sqrt[2016]{a_{1}\cdots a_{2016}}} \\ &= \frac{a_{1}+\cdots+a_{2016}+\sqrt[2016]{a_{1}\cdots a_{k}}}{2017}-\sqrt[2016]{a_{1}\cdots a_{2016}} \end{aligned}$Correction. 근호 안의 마지막 항 $\displaystyle a_k$는 $\displaystyle a_{2016}$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned} &= \frac{a_{1}+\cdots+a_{2016}-2016\sqrt[2016]{a_{1}\cdots a_{2016}}}{2017} \end{aligned}$

을 갖는다. 따라서 $\displaystyle \frac{a_{1}+\cdots+a_{2016}}{2016}\ge\sqrt[2016]{a_{1}\cdots a_{2016}}$이면 모든 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle h_{2017}(x)\ge0$이다.즉, 임의의 양의실수 $\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots,a_{2016}$에 대하여 $\displaystyle \frac{a_{1}+\cdots+a_{2016}}{2016}\ge\sqrt[2016]{a_{1}\cdots a_{2016}}$임을 보이면 충분하다.다시 함수 $\displaystyle h_{2016}(x)=\frac{a_{1}+\cdots+a_{2015}+x}{2016}-\sqrt[2016]{a_{1}\cdots a_{2015}x}$에 위의 논리를 적용하면 $\displaystyle \frac{a_{1}+\cdots+a_{2015}}{2015}\ge\sqrt[2015]{a_{1}\cdots a_{2015}}$이면 $\displaystyle \frac{a_{1}+\cdots+a_{2016}}{2016}\ge\sqrt[2016]{a_{1}\cdots a_{2016}}$이 성립함을 알 수 있다. 결국 이 논리를 반복하면 $\displaystyle \frac{a_{1}+a_{2}}{2}\ge\sqrt{a_{1}a_{2}}$임을 보이는 것으로 증명이 끝났다는 것을 알 수 있다. 이는

$\displaystyle \frac{a_{1}+a_{2}}{2}-\sqrt{a_{1}a_{2}}=\frac{\sqrt{a_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}}}{2}-\sqrt{a_{1}a_{2}}=\frac{\sqrt{a_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}}-2\sqrt{a_{1}a_{2}}}{2}=\frac{(\sqrt{a_{1}}-\sqrt{a_{2}})^{2}}{2}\ge0$으로 증명 끝!!

별해> 임의의 양의실수 $\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$과 2이상의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle \frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{n}\ge\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}$임을 $\displaystyle n$에 대한 수학적 귀납법으로 보이고자 한다. 우선 $\displaystyle n=2$일 때,$\displaystyle \frac{a_{1}+a_{2}}{2}-\sqrt{a_{1}a_{2}}=\frac{\sqrt{a_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}}}{2}-\sqrt{a_{1}a_{2}}=\frac{\sqrt{a_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}}-2\sqrt{a_{1}a_{2}}}{2}=\frac{(\sqrt{a_{1}}-\sqrt{a_{2}})^{2}}{2}\ge0$이므로 성립한다. $\displaystyle n=k$일 때 부등식이 성립한다고 가정하자. 양의 실수에서 정의된 함수$\displaystyle h(x)=\frac{a_{1}+\cdots+a_{k}+x}{k+1}-\sqrt[k+1]{a_{1}\cdots a_{k}x}$의 도함수$\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{1}{k+1}\left(1-\sqrt[k+1]{\frac{a_{1}\cdots a_{k}}{x^{k}}}\right)$이므로 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=\sqrt[k]{a_{1}\cdots a_{k}}$에서 최솟값

$\displaystyle \begin{aligned} h\left(\sqrt[k]{a_{1}\cdots a_{k}}\right) &= \frac{a_{1}+\cdots+a_{k}+\sqrt[k]{a_{1}\cdots a_{k}}}{k+1}-\sqrt[k+1]{a_{1}\cdots a_{k}\sqrt[k]{a_{1}\cdots a_{k}}} \\ &= \frac{a_{1}+\cdots+a_{k}+\sqrt[k]{a_{1}\cdots a_{k}}}{k+1}-\sqrt[k]{a_{1}\cdots a_{k}} \\ &= \frac{a_{1}+\cdots+a_{k}-k\sqrt[k]{a_{1}\cdots a_{k}}}{k+1}\ge0 \end{aligned}$ (1)을 갖는다. (1)의 마지막 부등식은 수학적 귀납법의 가정의 결과이다.