자연계열 2번

1. $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b}-a=\sqrt{a^{2}+b}-a\ \frac{\sqrt{a^{2}+b}+a}{\sqrt{a^{2}+b}+a}=\frac{a^{2}+b+a\sqrt{a^{2}+b}-a\sqrt{a^{2}+b}-a^{2}}{\sqrt{a^{2}+b}+a}=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b}+a}<\frac{b}{2a}$이 성립한다. 같은 방법으로, 계산하면$\displaystyle a-\sqrt{a^{2}-b}=a-\sqrt{a^{2}-b}\ \frac{\sqrt{a^{2}-b}+a}{\sqrt{a^{2}-b}+a}=\frac{a\sqrt{a^{2}-b}+a^{2}-(a^{2}-b)-a\sqrt{a^{2}-b}}{\sqrt{a^{2}-b}+a}=\frac{b}{\sqrt{a^{2}-b}+a}>\frac{b}{2a}$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b}-a<\frac{b}{2a}<a-\sqrt{a^{2}-b}$이다.

2. $\displaystyle x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$로부터$\displaystyle \sqrt[3]{a^{3}+b}-a=\frac{(a^{3}+b)-a^{3}}{(\sqrt[3]{a^{3}+b})^{2}+a\sqrt[3]{a^{3}+b}+a^{2}}=\frac{b}{(\sqrt[3]{a^{3}+b})^{2}+a\sqrt[3]{a^{3}+b}+a^{2}}<\frac{b}{3a^{2}}$이 성립함을 알 수 있다. 마찬가지 방법으로$\displaystyle a-\sqrt[3]{a^{3}-b}=\frac{a^{3}-(a^{3}-b)}{a^{2}+a\sqrt[3]{a^{3}-b}+(\sqrt[3]{a^{3}-b})^{2}}=\frac{b}{a^{2}+a\sqrt[3]{a^{3}-b}+(\sqrt[3]{a^{3}-b})^{2}}>\frac{b}{3a^{2}}$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle \sqrt[3]{a^{3}+b}-a<a-\sqrt[3]{a^{3}-b}$이 성립한다.

3. 문항 1에서 부등식$\displaystyle \sqrt{a^{2}+b}-a<\frac{b}{2a}<a-\sqrt{a^{2}-b}\ \cdots\cdots\ ①$이 성립한다. 우선, $\displaystyle 75^{2}=5625$이므로, 부등식 ① 에 의해 부등식$\displaystyle \left|75-\sqrt{5627}\right|=\sqrt{5627}-75=\sqrt{75^{2}+2}-75<\frac{2}{2\cdot75}=\frac{1}{75}$이 성립한다. 또한 문항 2의 증명으로부터 부등식$\displaystyle \sqrt[3]{a^{3}+b}-a<\frac{b}{3a^{2}}<a-\sqrt[3]{a^{3}-b}\ \cdots\cdots\ ②$이 성립함을 알 수 있다. $\displaystyle 341=343-2=7^{3}-2$이므로, 부등식 ② 에 의해$\displaystyle \left|7-\sqrt[3]{341}\right|=7-\sqrt[3]{341}=7-\sqrt[3]{7^{3}-2}>\frac{2}{3\cdot7^{2}}=\frac{2}{147}>\frac{1}{73.5}>\frac{1}{75}$Correction. $\displaystyle \frac{2}{147}$과 $\displaystyle \frac1{73.5}$는 같으므로, 두 값 사이에는 $\displaystyle >$가 아니라 $\displaystyle =$를 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이 성립한다. 그러므로 $\displaystyle \left|75-\sqrt{5627}\right|<\left|7-\sqrt[3]{341}\right|$임을 알 수 있다.