자연계열 1번

1. 음함수의 미분법을 이용하면$\displaystyle \frac x2+\frac{2y}3\frac{dy}{dx}=0$이다. 즉, $\displaystyle y\ne0$일 때$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{3x}{4y}$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle \left(-1,\frac32\right)$를 지나는 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac12$이다.

2. 포물선 $\displaystyle x=y^2$ 위의 점을 $\displaystyle (a,b)$라고 하자. 그러면 $\displaystyle a=b^2$이 성립한다. 원점이 아닌 점에서의 포물선에 접하는 접선의 기울기를 구하면 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac1{2y}$이므로 원점이 아닌 점 $\displaystyle (a,b)$를 지나고 포물선 $\displaystyle x=y^2$에 접하는 직선의 방정식은$\displaystyle y=\frac1{2b}(x-a)+b$가 된다. 평면위의 점 $\displaystyle (-3,1)$이 이 직선위에 있다고 하면 $\displaystyle 1=\frac1{2b}(-3-a)+b$, 즉, $\displaystyle 2b=-3-a+2b^2$을 만족하는데, 앞서 포물선 위의 점은 $\displaystyle a=b^2$을 만족하므로, $\displaystyle 2b=-3-b^2+2b^2$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle b^2-2b-3=0$을 풀면 $\displaystyle b=3$ 또는 $\displaystyle b=-1$을 만족하고, 이에 대응하는 $\displaystyle a$는 $\displaystyle a=9$또는 $\displaystyle a=1$이다. 따라서 포물선 $\displaystyle x=y^2$에 접하고 점 $\displaystyle (-3,1)$을 지나는 직선은점 $\displaystyle (9,3)$에서 접하는 $\displaystyle y=\frac16x+\frac32$과점 $\displaystyle (1,-1)$에서 접하는 $\displaystyle y=-\frac12x-\frac12$이다.두 직선이 $\displaystyle x$축과 이루는 각을 각각 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$라고 하자. (단, $\displaystyle 0<\alpha,\beta\le\frac\pi2$로 잡는다.) 이 때, $\displaystyle \tan\alpha=\frac16,\ \tan\beta=\frac12$이다. 이를 이용하면 $\displaystyle \sin\alpha=\frac1{\sqrt{37}},\ \cos\alpha=\frac6{\sqrt{37}},\ \sin\beta=\frac1{\sqrt5},\ \cos\beta=\frac2{\sqrt5}$를 얻을 수 있고,$\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\frac{12}{\sqrt{185}}-\frac1{\sqrt{185}}=\frac{11}{\sqrt{185}}$를 얻는다.이 때 $\displaystyle \cos(\alpha+\beta)$가 양수이므로 $\displaystyle 0<\alpha+\beta<\frac\pi2$을 확인할 수 있다. 따라서 $\displaystyle \theta=\alpha+\beta$가 되고, $\displaystyle \cos\theta=\frac{11}{\sqrt{185}}$이다.

3. 초점 $\displaystyle \mathrm C(1,0)$을 지나고 기울기가 $\displaystyle m$인 직선은 $\displaystyle y=m(x-1)$이다. 삼각형의 넓이를 구하기 위해서는 점 $\displaystyle A$와 점 $\displaystyle B$의 $\displaystyle y$좌표값을 알아야 한다. $\displaystyle x=\frac ym+1$을 타원의 방정식에 대입하면 $\displaystyle \frac14\left(\frac ym+1\right)^2+\frac{y^2}3=1$이 되고, 정리하면$\displaystyle \left(\frac1{m^2}+\frac43\right)y^2+\frac2m y-3=0$이 된다. 따라서$\displaystyle y_1=\frac{-\frac1m-\sqrt{\frac1{m^2}+3(\frac1{m^2}+\frac43)}}{\frac1{m^2}+\frac43}=-\frac{3m(1+2\sqrt{m^2+1})}{4m^2+3},$$\displaystyle y_2=\frac{-\frac1m+\sqrt{\frac1{m^2}+3(\frac1{m^2}+\frac43)}}{\frac1{m^2}+\frac43}=\frac{3m(-1+2\sqrt{m^2+1})}{4m^2+3}$를 얻을 수 있다. 삼각형의 넓이는 $\displaystyle S_1=-\frac32y_1,\quad S_2=\frac12y_2$이므로,$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac32\frac{3m(1+2\sqrt{m^2+1})}{4m^2+3}}{\frac12\frac{3m(-1+2\sqrt{m^2+1})}{4m^2+3}}=\frac{3(1+2\sqrt{m^2+1})}{-1+2\sqrt{m^2+1}}$이다.따라서 $\displaystyle \lim_{m\to0}\frac{S_1}{S_2}=\lim_{m\to0}\frac{3(1+2\sqrt{m^2+1})}{-1+2\sqrt{m^2+1}}=9$를 얻는다.