자연계열 2번

1. 거리가 최소가 되기 위한 필요조건은 점 A와 점 $\displaystyle (x_0,y_0)$를 연결하는 직선이 $\displaystyle (x_0,y_0)$에서의 접선에 수직이 되는 것이다. 접선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{2x}y$이므로,$\displaystyle \frac{y_0-b}{x_0-a}=\frac{y_0}{2x_0}$, 즉, $\displaystyle y_0=\frac{2bx_0}{x_0+a}$가 되고 이를 $\displaystyle 2x^2+y^2=1$에 대입하면,$\displaystyle 2x^4+4ax^3+(2a^2+4b^2-1)x^2-2ax-a^2=0$따라서 답은 $\displaystyle 2a^2+4b^2-1$.

2. $\displaystyle f'(x)=8x^3+12ax^2+2(2a^2+4b^2-1)x-2a,\quad f''(x)=24x^2+24ax+2(2a^2+4b^2-1)$인데,$\displaystyle f''(x)$의 판별식은 $\displaystyle D=-192(-a^2+4b^2-1)$이다.$\displaystyle a<\frac32b$로부터 $\displaystyle -a^2+4b^2-1>-\frac94b^2+4b^2-1=\frac74b^2-1>0$이므로 $\displaystyle D<0$이 되어 $\displaystyle f''(x)>0$이다.따라서 $\displaystyle f'(x)$는 증가함수이며 실근을 오직 하나만 가지며 이 실근은 양수이다.($\displaystyle f'(0)=-2a<0$이므로.)이 실근을 $\displaystyle x^*$라 하면 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 다음과 같은 개형을 가진다.

3. $\displaystyle y_0=\frac{2bx_0}{x_0+a}$를 $\displaystyle 2x^2+y^2=1$에 대입하면,$\displaystyle \frac{4b^2x_0^2}{(x_0+a)^2}-(1-2x_0^2)=0,\quad\left(\frac{2bx_0}{x_0+a}-\sqrt{1-2x_0^2}\right)\left(\frac{2bx_0}{x_0+a}+\sqrt{1-2x_0^2}\right)=0$이므로, $\displaystyle \frac{2bx_0}{x_0+a}=\sqrt{1-2x_0^2}$이다.$\displaystyle x_0=\frac12$이면, $\displaystyle b=\left(\frac12+a\right)\frac1{\sqrt2}=\frac{1+2a}{2\sqrt2}.$