상경계열 2번

1. $\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n\frac{k+2}{k(k+1)2^{k+1}}=\sum_{k=1}^n\left(\frac1{k2^k}-\frac1{(k+1)2^{k+1}}\right)=\frac12-\frac1{(n+1)2^{n+1}}$$\displaystyle S_n=2^{n+1}T_n+\frac1{n+1}=2^{n+1}\left(\frac12-\frac1{(n+1)2^{n+1}}\right)+\frac1{n+1}=2^n$이다.

점 $\displaystyle \mathrm P(-\sqrt5S_n,0)$, 교점(원과 접하는 두 접선 중 하나와 원이 만나는 교점) Q, 원점 O를 꼭짓점으로 가지는 직각삼각형과 교점 Q, $\displaystyle y$절편, 원점 O를 꼭짓점으로 가지는 직각삼각형은 닮은꼴로 각 변의 길이의 비는 $\displaystyle \sqrt5:2:1$이다. 이를 이용하여 $\displaystyle y$절편의 절댓값을 구하면 $\displaystyle a_n=2^n\cdot\frac{\sqrt5}2=\sqrt5\,2^{n-1}$이다. 따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac1{a_n}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt5\,2^{n-1}}=\frac{\frac1{\sqrt5}}{1-\frac12}=\frac{2\sqrt5}5$이다.

2. $\displaystyle \begin{aligned}P_n&=\sum_{k=1}^n\log_2\frac{k+1}{k2^{k+1}}\\&=\sum_{k=1}^n\log_2\frac{k+1}k-\sum_{k=1}^n\log_2 2^{k+1}\\&=\log_2\left(\frac21\cdot\frac32\cdot\frac43\cdots\frac{n+1}n\right)-\sum_{k=1}^n(k+1)\\&=\log_2(n+1)-\sum_{k=1}^n(k+1)\end{aligned}$

$\displaystyle P_n$이 정수가 되기 위해서는 $\displaystyle n+1$이 2의 거듭제곱 형태이어야 하므로 이를 만족하는 가장 작은 자연수 6개는 $\displaystyle 1,3,7,15,31,63$이고 구하고자 하는 기댓값은 $\displaystyle \frac{1+3+7+15+31+63}6=20$이다.

3. $\displaystyle \begin{aligned}L&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{15(n^2+nk+k^2)(n^2-nk+k^2)}{23n^5}\\&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{15(n^4+n^2k^2+k^4)}{23n^5}\\&=\frac{15}{23}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left\{1+\left(\frac kn\right)^2+\left(\frac kn\right)^4\right\}\cdot\frac1n\\&=\frac{15}{23}\int_0^1 1+x^2+x^4\,dx\\&=\frac{15}{23}\Biggl[x+\frac13x^3+\frac15x^5\Biggr]_0^1\\&=\frac{15}{23}\cdot\frac{23}{15}\\&=1\end{aligned}$

이고, $\displaystyle k\le1$인 범위에서는 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프가 항상 교점을 가진다는 것을 쉽게 확인이 가능하다. 즉, $\displaystyle 1<k$이어야한다.다음으로 $\displaystyle y=x^2-6x+19$와 $\displaystyle y=-2x+k$가 접할 때의 $\displaystyle k$값을 구하자. 두 식에서 $\displaystyle y$를 소거하면$\displaystyle x^2-4x+19-k=0$을 얻고 이때의 판별식 $\displaystyle D=4-19+k$는 $\displaystyle k=15$일 때 $\displaystyle D=0$이고, 이때의 $\displaystyle x$값은 2로 $\displaystyle x>1$인 범위에 속한다. ($\displaystyle y=f(x)$는 $\displaystyle x>1$인 범위에서만 $\displaystyle y=x^2-6x+19$와 동일하기 때문에, 접하는 점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle x>1$인 범위에 속하는지 확인할 필요가 있다.) 이 문제는 교점이 없을 때의 구간을 구하는 문제이므로 $\displaystyle D<0$가 될 때의 $\displaystyle k$의 범위는 $\displaystyle k<15$임을 알 수 있다.따라서 구하고자 하는 $\displaystyle k$의 범위는 $\displaystyle 1<k<15$이다.