자연계열 1번

1. 음함수의 미분법에 의해 $\displaystyle ( 3 y^{2} + 6 y + 4 ) y^{\prime} = 1$, 즉 $\displaystyle y^{\prime} = \frac{1}{3 y^{2} + 6 y + 4} = \frac{1}{3 ( y + 1 )^{2} + 1} > 0$이다.

따라서 함수 $\displaystyle f ( x )$는 증가함수이고 일대일 함수이다.

2. 함수 $\displaystyle g ( x )$와 $\displaystyle h ( x )$가 한 점에서 만날 조건은 함수 $\displaystyle g ( x )$가 함수 $\displaystyle y = x$와 만날 조건과 동치이다.

$\displaystyle g(x)$의 정의에 의해$\displaystyle g(x)^3+3g(x)^2+4g(x)+1=f(x+k)^3+3f(x+k)^2+4f(x+k)+1=x+k$이므로, $\displaystyle g(x)=x$가 $\displaystyle g(x)$의 정의역 $\displaystyle \{x\mid x\ge-k\}$에서 해를 가질 조건은 삼차 방정식 $\displaystyle x^3+3x^2+4x+1=x+k$, 즉, $\displaystyle x^3+3x^2+3x+(1-k)=0$이 $\displaystyle \{x\mid x\ge-k\}$에서 해를 가질 조건과 같다.

$\displaystyle p(x)=x^3+3x^2+3x+(1-k)$ ($\displaystyle x\ge-k$)라 두자. $\displaystyle p^{\prime}(x)=3x^2+6x+3=3(x+1)^2\ge0$이므로 $\displaystyle p(x)$는 증가함수이다. 따라서 $\displaystyle p(x)=0$이고 $\displaystyle x\ge-k$인 $\displaystyle x$가 한 개 이상 존재하기 위해서는 $\displaystyle p(-k)=-k^3+3k^2-4k+1\le0$이어야만 한다. $\displaystyle q(k)=-k^3+3k^2-4k+1$이라 두면, $\displaystyle q^{\prime}(k)=-3k^2+6k-4=-3(k-1)^2-1\le0$이므로 감소함수이다. 그런데 $\displaystyle q(0.3)=0.043>0$이고 $\displaystyle q(0.4)=-0.184<0$이므로 $\displaystyle q(k)\le0$인 $\displaystyle k$의 최솟값은 $\displaystyle 0.3\cdots$이다. 따라서 구하는 답은 3이다.

3. 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{Q} \left( - 1 , - 1 \right)$에서 그은 접선의 방정식은 $\displaystyle y = f^{\prime} ( - 1 ) ( x + 1 ) - 1 = - x$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{R}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 0 , 0 \right)$이다.Correction. 접선의 방정식 끝에 쓴 $\displaystyle -x$는 $\displaystyle x$의 오기이다. $\displaystyle f^{\prime}(-1)=1$이므로 접선은 $\displaystyle y=x$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

한편, $\displaystyle f ( x )$의 역함수를 $\displaystyle r ( x )$라 하면 $\displaystyle r ( x ) = x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 1$이다. 또한 $\displaystyle r ( x ) \ge x$가 $\displaystyle ( x + 1 )^{3} \ge 0$과 동치이므로 구간 $\displaystyle [ - 1 , 0 ]$에서 $\displaystyle r ( x ) \ge x$, 즉 $\displaystyle x \ge f ( x )$가 성립한다. 이로부터 $\displaystyle \mathrm{S}$를 좌표가 $\displaystyle \left( 0 , - 1 \right)$인 점이라 하면(선분 PR, 선분 QR와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$에 의해 둘러싸인 영역의 넓이)$\displaystyle =$ (삼각형 QRS의 넓이) $\displaystyle -\int_{-1}^a|r(x)|\,dx=\frac12\cdot1\cdot1+\int_{-1}^a(x^3+3x^2+4x+1)\,dx$$\displaystyle =\frac{a^4}4+a^3+2a^2+a+\frac14$.

그런데 $\displaystyle a$의 정의에 의해 $\displaystyle a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 1 = 0$가 성립하므로,$\displaystyle \frac{a^{4}}{4} + a^{3} + 2 a^{2} + a + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} ( a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 1 ) = \frac{1}{4} ( a^{2} - a )$이다. 정리하면(선분 $\displaystyle \mathrm{PR}$, 선분 $\displaystyle \mathrm{QR}$와 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$에 의해 둘러싸인 영역의 넓이)$\displaystyle = \frac{1}{4} ( a^{2} - a )$를 얻는다.