자연계열 2번

1. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{GE}}=\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac23\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac23(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}})=-\frac16\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac23\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FD}}=\overrightarrow{\mathrm{FC}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\frac23\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\frac23(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=\frac23\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac16\overrightarrow{\mathrm{AC}}$따라서 $\displaystyle a=-\frac16,b=\frac23,c=\frac23,d=-\frac16$이다.

2. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{GH}}=r\overrightarrow{\mathrm{GE}},\ \overrightarrow{\mathrm{FH}}=s\overrightarrow{\mathrm{FD}}$로 두면, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AH}}=\overrightarrow{\mathrm{AG}}+r\overrightarrow{\mathrm{GE}}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}+s\overrightarrow{\mathrm{FD}}$가 성립한다.이 등식에 문항 1의 두 등식을 대입하여 $\displaystyle r,s$를 구하면, $\displaystyle r=s=\frac35$이다.따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{GH}}:\overline{\mathrm{HE}}=\frac35:1-\frac35=3:2$이다.

3. $\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm G\mathrm I_{k+l}}&=\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm B\mathrm I_{k+l}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{k+l}n\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{k+l}n(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}})\\&=\frac{n-2(k+l)}{2n}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{k+l}n\overrightarrow{\mathrm{AC}}\end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm F\mathrm I_k}&=\overrightarrow{\mathrm{FC}}+\overrightarrow{\mathrm C\mathrm I_k}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\frac{n-k}n\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\frac{n-k}n(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})\\&=\frac{n-k}n\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{-n+2k}{2n}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\end{aligned}$$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{GJ}}=r\overrightarrow{\mathrm G\mathrm I_{k+l}},\ \overrightarrow{\mathrm{FJ}}=s\overrightarrow{\mathrm F\mathrm I_k}$로 두면, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AJ}}=\overrightarrow{\mathrm{AG}}+r\overrightarrow{\mathrm G\mathrm I_{k+l}}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}+s\overrightarrow{\mathrm F\mathrm I_k}$이다.위 두 등식을 이것에 대입하여 $\displaystyle r$과 $\displaystyle s$를 구한다.

FG와 BC는 평행이므로, $\displaystyle r=s$임을 이용하여 구하자.$\displaystyle \frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}+s\left(\frac{n-2(k+l)}{2n}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{k+l}n\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AC}}+s\left(\frac{n-k}n\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{-n+2k}{2n}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)$이므로, $\displaystyle s=\frac n{n+2l}$이다.따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{FJ}}:\overline{\mathrm J\mathrm I_k}=\frac n{n+2l}:1-\frac n{n+2l}=n:2l$이다.