수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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한양대 서울캠퍼스 2020학년도 모의 1회 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2020mo_1/jayeon_2

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[문제 2번] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

삼각형 ABC\displaystyle \mathrm{ABC}의 변 AB\displaystyle \mathrm{AB}의 중점을 G\displaystyle \mathrm{G}, 변 AC\displaystyle \mathrm{AC}의 중점을 F\displaystyle \mathrm{F}라 하자. 변 BC\displaystyle \mathrm{BC}를 삼등분하는 BC\displaystyle \mathrm{BC} 위의 두 점 중 점 B\displaystyle \mathrm{B}에 가까운 것을 D\displaystyle \mathrm{D}, 점 C\displaystyle \mathrm{C}에 가까운 것을 E\displaystyle \mathrm{E}라 하고, 두 선분 EG\displaystyle \mathrm{EG}와 DF\displaystyle \mathrm{DF}의 교점을 H\displaystyle \mathrm{H}라 하자.

1. 다음 두 등식을 만족하는 실수 a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d의 값을 구하시오.GE→=aAB→+bAC→,FD→=cAB→+dAC→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{GE}}=a\overrightarrow{\mathrm{AB}}+b\overrightarrow{\mathrm{AC}},\quad\overrightarrow{\mathrm{FD}}=c\overrightarrow{\mathrm{AB}}+d\overrightarrow{\mathrm{AC}}

2. 문항 1의 두 등식을 이용하여 선분의 길이의 비 GH‾:HE‾\displaystyle \overline{\mathrm{GH}} : \overline{\mathrm{HE}}를 구하시오.

3. 변 BC\displaystyle \mathrm{BC}를 n\displaystyle n등분하는 n−1\displaystyle n - 1개의 점들을 점 B\displaystyle \mathrm{B}로부터 점 C\displaystyle \mathrm{C}로의 방향으로 차례대로 각각 I1,I2,⋯ ,In−1\displaystyle \mathrm{I}_{1} , \mathrm{I}_{2} , \cdots , \mathrm{I}_{n - 1}이라 하자. 두 선분 FIk‾\displaystyle \overline{\mathrm{FI}_{k}}와 GIk+l‾\displaystyle \overline{\mathrm{GI}_{k + l}}의 교점을 J\displaystyle \mathrm{J}라 할 때, 선분의 길이의 비 FJ‾:JIk‾\displaystyle \overline{\mathrm{FJ}} : \overline{\mathrm{JI}_{k}}를 구하시오. (단, 1≤k<k+l≤n−1\displaystyle 1 \le k < k + l \le n - 1)

해설강의 준비중

한양대 서울캠퍼스 2020학년도 모의 1회 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2020mo_1/jayeon_2

+30점 · a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c, d\displaystyle d의 값을 구하였는가?

1. GE→=GB→+BE→=12AB→+23BC→=12AB→+23(AC→−AB→)=−16AB→+23AC→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{GE}}=\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac23\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac23(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}})=-\frac16\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac23\overrightarrow{\mathrm{AC}}FD→=FC→+CD→=12AC→+23CB→=12AC→+23(AB→−AC→)=23AB→−16AC→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FD}}=\overrightarrow{\mathrm{FC}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\frac23\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\frac23(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=\frac23\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac16\overrightarrow{\mathrm{AC}}따라서 a=−16,b=23,c=23,d=−16\displaystyle a=-\frac16,b=\frac23,c=\frac23,d=-\frac16이다.

+30점 · 문항1의 등식을 이용하여 비를 올바로 구하였는가?

2. GH→=rGE→, FH→=sFD→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{GH}}=r\overrightarrow{\mathrm{GE}},\ \overrightarrow{\mathrm{FH}}=s\overrightarrow{\mathrm{FD}}로 두면, AH→=AG→+rGE→=AF→+sFD→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AH}}=\overrightarrow{\mathrm{AG}}+r\overrightarrow{\mathrm{GE}}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}+s\overrightarrow{\mathrm{FD}}가 성립한다.이 등식에 문항 1의 두 등식을 대입하여 r,s\displaystyle r,s를 구하면, r=s=35\displaystyle r=s=\frac35이다.따라서 GH‾:HE‾=35:1−35=3:2\displaystyle \overline{\mathrm{GH}}:\overline{\mathrm{HE}}=\frac35:1-\frac35=3:2이다.

+10점 · 문항1, 2의 결과들을 적절히 이용하였는가?

3. GIk+l→=GB→+BIk+l→=12AB→+k+lnBC→=12AB→+k+ln(AC→−AB→)=n−2(k+l)2nAB→+k+lnAC→\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm G\mathrm I_{k+l}}&=\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm B\mathrm I_{k+l}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{k+l}n\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{k+l}n(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}})\\&=\frac{n-2(k+l)}{2n}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{k+l}n\overrightarrow{\mathrm{AC}}\end{aligned}FIk→=FC→+CIk→=12AC→+n−knCB→=12AC→+n−kn(AB→−AC→)=n−knAB→+−n+2k2nAC→\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm F\mathrm I_k}&=\overrightarrow{\mathrm{FC}}+\overrightarrow{\mathrm C\mathrm I_k}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\frac{n-k}n\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\frac{n-k}n(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})\\&=\frac{n-k}n\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{-n+2k}{2n}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\end{aligned}GJ→=rGIk+l→, FJ→=sFIk→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{GJ}}=r\overrightarrow{\mathrm G\mathrm I_{k+l}},\ \overrightarrow{\mathrm{FJ}}=s\overrightarrow{\mathrm F\mathrm I_k}로 두면, AJ→=AG→+rGIk+l→=AF→+sFIk→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AJ}}=\overrightarrow{\mathrm{AG}}+r\overrightarrow{\mathrm G\mathrm I_{k+l}}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}+s\overrightarrow{\mathrm F\mathrm I_k}이다.위 두 등식을 이것에 대입하여 r\displaystyle r과 s\displaystyle s를 구한다.

+30점 · 요구된 길이의 비를 올바른 과정을 통해 구하였는가?

FG와 BC는 평행이므로, r=s\displaystyle r=s임을 이용하여 구하자.12AB→+s(n−2(k+l)2nAB→+k+lnAC→)=12AC→+s(n−knAB→+−n+2k2nAC→)\displaystyle \frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}+s\left(\frac{n-2(k+l)}{2n}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{k+l}n\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AC}}+s\left(\frac{n-k}n\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{-n+2k}{2n}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)이므로, s=nn+2l\displaystyle s=\frac n{n+2l}이다.따라서 FJ‾:JIk‾=nn+2l:1−nn+2l=n:2l\displaystyle \overline{\mathrm{FJ}}:\overline{\mathrm J\mathrm I_k}=\frac n{n+2l}:1-\frac n{n+2l}=n:2l이다.

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