상경계열 2번

1. 드모르간의 법칙에 의해 $\displaystyle C\cap(A^c\cup B)=C\cap(A\cap B^c)^c=C-(A-B)=\{2,4,7\mathit{RIGHT}$이고, $\displaystyle A-B=\{1,3,5\mathit{RIGHT}$이다. 따라서 집합 $\displaystyle C$는 $\displaystyle C\subset\{1,2,3,4,5,7\mathit{RIGHT},\quad\{2,4,7\mathit{RIGHT}\subset C$를 동시에 만족한다. 따라서 집합 $\displaystyle C$는 다음과 같은 경우를 만족한다.

따라서 확률변수 $\displaystyle X$는 다음과 같은 확률분포를 갖는다.

기댓값은 $\displaystyle \mathrm E(X)=3\cdot\frac18+4\cdot\frac38+5\cdot\frac38+6\cdot\frac18=\frac92$이다.

분산은 $\displaystyle \mathrm V(X)=\mathrm E(X^2)-\{\mathrm E(X)\mathit{RIGHT}=3^2\cdot\frac18+4^2\cdot\frac38+5^2\cdot\frac38+6^2\cdot\frac18-\left(\frac92\right)^2=\frac34$이다.Correction. 분산 공식에서 $\displaystyle \mathrm E(X)$ 뒤의 ‘RIGHT’는 닫는 중괄호와 제곱 표기가 빠지고 편집 명령이 인쇄된 오기이다. 이 부분은 $\displaystyle \{\mathrm E(X)\}^2$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

2. 주어진 정적분을 구하면$\displaystyle \int_0^6(x^3-(12-k)x^2+6(6-k)x)\,dx=\left[\frac14x^4-\frac{12-k}3x^3+3(6-k)x^2\mathit{RIGHT}\right._0^6=108-36k$이다.Correction. 정적분 계산의 ‘RIGHT’는 원시함수를 감싼 닫는 대괄호 대신 편집 명령이 인쇄된 오기이다. 따라서 해당 부분은 $\displaystyle \Biggl[\frac14x^4-\frac{12-k}{3}x^3+3(6-k)x^2\Biggr]_0^6$으로 읽는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서 $\displaystyle k=1,2$일 때, 정적분의 값이 양수가 되므로 확률은 $\displaystyle \frac13$이다. 정적분이 양수가 되는 확률변수를 $\displaystyle X$라고 하면, 확률변수 $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm B(4050,\frac13)$를 따른다. 시행횟수 $\displaystyle n=4050$이 충분히 크므로 확률변수 $\displaystyle X$는 근사적으로 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(1350,30^2)$를 따른다. 이를 이용하면

$\displaystyle \begin{aligned}&\mathrm P(1365\le X\le1410)=\mathrm P\left(\frac{1365-1350}{30}\le\frac{X-1350}{30}\le\frac{1410-1350}{30}\right)\\&=\mathrm P(0.5\le Z\le2)=\mathrm P(0\le Z\le2)-\mathrm P(0\le Z\le0.5)=0.4772-0.1915=0.2857\end{aligned}$을 얻는다.

3. 두 항을 나누어 생각하자. 첫 번째 급수는 첫째항이 2, 공비가 $\displaystyle -\frac13$인 등비급수이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left[2-\frac23+\frac29-\frac2{27}+\cdots+\frac2{(-3)^{n-1}}\right]=\sum_{n=1}^\infty2\left(-\frac13\right)^n=\frac2{1-(-\frac13)}=\frac32$이다.Correction. 급수의 지수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle n-1$의 오기이다. 첫항이 $\displaystyle 2$이므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}2(-1/3)^{n-1}$이며, 뒤에서 구한 합 $\displaystyle 3/2$는 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

두 번째 극한은 정적분을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n^5}+\frac{16}{n^5}+\frac{81}{n^5}+\cdots+\frac{n^4}{n^5}\right)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k^4}{n^5}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac kn\right)^4\frac1n=\int_0^1(x^4)\,dx=\Biggl[\frac15x^5\Biggr]_0^1=\frac15$급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n,\ \sum_{n=1}^\infty b_n$이 수렴할 때 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty(a_n+b_n)=\sum_{n=1}^\infty a_n+\sum_{n=1}^\infty b_n$이므로 주어진 극한은 $\displaystyle \frac{17}{10}$이다.