자연계열 1번

1. 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$의 그래프를 생각하면, 다음 부등식이 성립한다.$\displaystyle \int_{1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\le\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\le1+\int_{1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\quad\Rightarrow\quad2(\sqrt{n+1}-1)\le\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\le1+2(\sqrt{n}-1)$

각 변에 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}$을 곱한 후에 극한 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}$을 취하면,$\displaystyle 2=\lim_{n\to\infty}\frac{2(\sqrt{n+1}-1)}{\sqrt{n}}\le\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\le\lim_{n\to\infty}\frac{1+2(\sqrt{n}-1)}{\sqrt{n}}=2$이다.그러므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}=2$이다.

2. 첫 번째로 주어진 급수를 다음과 같이 정리할 수 있다.$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}n\left(\frac{k-1}{n}\right)^{4}\left(\frac{k}{n}-x\right)\,dx=\sum_{k=1}^{n}n\left(\frac{k-1}{n}\right)^{4}\left(\frac{1}{2n^{2}}\right)=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k-1}{n}\right)^{4}\left(\frac{1}{n}\right)$따라서 제시문 (나)에 의해 구하고자 하는 극한값은 아래와 같이 계산할 수 있다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=1}^{n}\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}n\left(\frac{k-1}{n}\right)^{4}\left(\frac{k}{n}-x\right)\,dx\right]=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k-1}{n}\right)^{4}\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x^{4}\,dx=\frac{1}{10}$

동일한 방식으로 두 번째 극한값을 아래와 같이 계산 가능하다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=1}^{n}\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}n\left(\frac{k}{n}\right)^{4}\left(\frac{k}{n}-x\right)\,dx\right]=\lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=1}^{n}n\left(\frac{k}{n}\right)^{4}\left(\frac{1}{2n^{2}}\right)\right]=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{4}\left(\frac{1}{n}\right)\right]=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x^{4}\,dx=\frac{1}{10}$

3. 제시문 (다)에 의해 아래의 등식이 성립함을 알 수 있다.$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)-n\int_{0}^{1}f(x)\,dx=n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)-n\sum_{k=1}^{n}\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}f(x)\,dx=n\sum_{k=1}^{n}\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}\left(f\left(\frac{k}{n}\right)-f(x)\right)\,dx$여기서 $\displaystyle f(x)=x^{5}$이라 하자. 그러면 $\displaystyle f(x)$는 연속이고 미분가능한 함수이므로, 평균값 정리에 의해$\displaystyle \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}\left(f\left(\frac{k}{n}\right)-f(x)\right)\,dx=\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}f^{\prime}(\theta_{k}(x))\left(\frac{k}{n}-x\right)\,dx$을 만족하는 $\displaystyle \theta_{k}(x)\in\left[x,\frac{k}{n}\right]$가 존재한다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=5x^{4}$는 $\displaystyle [0,1]$에서 증가하므로, 모든 $\displaystyle x\in\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right]$에 대하여 $\displaystyle 5\left(\frac{k-1}{n}\right)^{4}\le5x^{4}\le5\left(\frac{k}{n}\right)^{4}$이 성립한다.이로부터 아래와 같은 부등식을 얻을 수 있다.$\displaystyle n\sum_{k=1}^{n}\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}5\left(\frac{k-1}{n}\right)^{4}\left(\frac{k}{n}-x\right)\,dx\le n\sum_{k=1}^{n}\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}\left(\left(\frac{k}{n}\right)^{5}-x^{5}\right)\,dx\le n\sum_{k=1}^{n}\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}5\left(\frac{k}{n}\right)^{4}\left(\frac{k}{n}-x\right)\,dx$

(2)번 문제에서 계산한 결과를 활용하여, 위 부등식 양쪽 끝을 $\displaystyle n\to\infty$일 때의 극한값을 계산하면 $\displaystyle \frac{1}{2}$로 동일함을 알 수 있다. 따라서 제시문 (가)에 의해 문제에서 구하고자 하는 극한값은 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{5}-n\int_{0}^{1}x^{5}\,dx\right]=\frac{1}{2}$이다.