자연계열 2번

1. 타원을 아래 그림과 같이 좌표평면에 두어 $\displaystyle x^{2}+4y^{2}=4$라 하자. 공이 초점 $\displaystyle \mathrm{F}(-\sqrt{3},0)$에 있고 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x_{0},y_{0})$는 $\displaystyle x$축 아래에 있다고 가정하자. 다른 초점 $\displaystyle \mathrm{F^{\prime}}(\sqrt{3},0)$은 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x_{0},y_{0})$와 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(x_{1},y_{1})$를 지나는 직선 위에 놓여 있다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x_{0},y_{0})$에서의 타원의 법선과 $\displaystyle x$축의 양의 방향이 이루는 각을 $\displaystyle \alpha$라 하면, 이 법선의 기울기는 $\displaystyle \tan\alpha=\frac{4y_{0}}{x_{0}}$이다. 따라서

점 F, P를 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{y_{0}-0}{x_{0}-(-\sqrt{3})}=\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\frac{4y_{0}}{x_{0}}+1}{1-\frac{4y_{0}}{x_{0}}}$,

점 P, Q를 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{y_{0}-0}{x_{0}-\sqrt{3}}=\tan\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\frac{4y_{0}}{x_{0}}-1}{1+\frac{4y_{0}}{x_{0}}}$이다.

이로부터 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x_{0},y_{0})$는 $\displaystyle \left(-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 또는 $\displaystyle \left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$이고,점 $\displaystyle \mathrm{Q}(x_{1},y_{1})$의 $\displaystyle y$좌표는 각각 $\displaystyle y_{1}=\frac{\sqrt{3}}{21+12\sqrt{2}}$ 또는 $\displaystyle y_{1}=\frac{\sqrt{3}}{21-12\sqrt{2}}$이다.

따라서 삼각형 FPQ의 넓이 $\displaystyle =$ 삼각형 FPF′의 넓이 $\displaystyle +$ 삼각형 FQF′의 넓이 $\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot|y_{0}|+\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot|y_{1}|$ $\displaystyle =\frac{24}{17}-\frac{4}{17}\sqrt{2}$ 또는 $\displaystyle \frac{24}{17}+\frac{4}{17}\sqrt{2}$이다.

2. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x^{2}+2x+3}=4$로부터 다항함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle f(x)=4x^{2}+ax+b$라 할 수 있고, $\displaystyle \lim_{x\to-1}\frac{x+1}{f(x)}=-\frac{1}{7}$로부터 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle (x+1)$을 인수로 갖는 것을 알 수 있다. $\displaystyle f(x)=4(x+1)(x+c)$라 할 때, $\displaystyle \lim_{x\to-1}\frac{x+1}{f(x)}=\lim_{x\to-1}\frac{1}{4(x+c)}=\frac{1}{4(c-1)}=-\frac{1}{7}$이므로 $\displaystyle c=-\frac{3}{4}$가 되어 $\displaystyle f(x)=4x^{2}+x-3$이다.

따라서 $\displaystyle g(t)=\int_{-t}^{t}f(x)\,dx=\int_{-t}^{t}(4x^{2}+x-3)\,dx=\frac{8}{3}t^{3}-6t$이다.$\displaystyle g^{\prime}(t)=8t^{2}-6=8\left(t^{2}-\frac{3}{4}\right)$이므로 $\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle t=\frac{\sqrt{3}}{2}$에서 극솟값을 갖는다.$\displaystyle g(-2)=-\frac{28}{3}<-2\sqrt{3}=g\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$이므로, $\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle t=-2$에서 최솟값 $\displaystyle g(-2)=-\frac{28}{3}$을 갖는다.

3. $\displaystyle f(t)=\sqrt{(-2\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}}=\sqrt{1+3\sin^{2}t}$, $\displaystyle g(t)=\sqrt{(-2\cos t)^{2}+(-\sin t)^{2}}=\sqrt{1+3\cos^{2}t}$이다. $\displaystyle h(t)=\frac{f(t)}{g(t)}$라 하자.$\displaystyle \begin{aligned}h^{\prime}(t)&=\frac{\frac{6\sin t\cos t}{2\sqrt{1+3\sin^{2}t}}\sqrt{1+3\cos^{2}t}-\sqrt{1+3\sin^{2}t}\frac{(-6\cos t\sin t)}{2\sqrt{1+3\cos^{2}t}}}{1+3\cos^{2}t}\\&=\frac{3\sin t\cos t(1+3\cos^{2}t+1+3\sin^{2}t)}{(1+3\cos^{2}t)\sqrt{1+3\sin^{2}t}\sqrt{1+3\cos^{2}t}}=\frac{15\sin t\cos t}{(1+3\cos^{2}t)\sqrt{1+3\sin^{2}t}\sqrt{1+3\cos^{2}t}}\end{aligned}$

$\displaystyle h^{\prime}(t)$의 분자가 $\displaystyle 0$이 되는 경우를 살펴보면, 정수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle h^{\prime}\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0$이므로 $\displaystyle t=\frac{n\pi}{2}$에서 극값을 갖는다.정수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle t=n\pi$에서 극솟값 $\displaystyle h(n\pi)=\frac{1}{2}$, $\displaystyle t=n\pi+\frac{\pi}{2}$에서 극댓값 $\displaystyle h\left(n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=2$을 가지고, 실수 $\displaystyle t$에 대해서 $\displaystyle \frac{1}{2}\le h(t)\le2$를 만족한다.따라서 $\displaystyle 0\le t\le2$인 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle h(t)$는 최솟값 $\displaystyle h(0)=\frac{1}{2}$, 최댓값 $\displaystyle h\left(\frac{\pi}{2}\right)=2$를 갖는다.